Quali sono alcune applicazioni reali dell'algebra astratta?

Codici

I codici di correzione degli errori sono usati in quasi tutte le forme di archiviazione e comunicazione digitale, dai lettori DVD alle comunicazioni satellitari. La teoria e la pratica della costruzione di buoni codici di correzione degli errori si basano molto sulle nozioni astratte di campi finiti e spazi vettoriali (vedi ad esempio Huffman[1]), e più recentemente su concetti algebrici ancora più profondi e astratti come i campi di funzioni e le curve algebriche (Stichtenoth[2]).

Grafi di espansione

I grafi di espansione possono essere usati per progettare reti di comunicazione sparse con caratteristiche di connettività molto forti. "Sparse" significa che ogni nodo della rete è connesso a pochi altri nodi; "forte connettività" significa che per interrompere la connessione tra due parti sostanziali della rete si dovrebbero tagliare molte connessioni individuali. I grafi espansori sono utili anche in una varietà di algoritmi in cui è necessario simulare la "casualità" in modo deterministico.

Costruire buoni grafi espansori è difficile. Le costruzioni più conosciute si basano su risultati molto profondi nella teoria della rappresentazione, vedi ad esempio Lubotzky[3].

Modellazione e animazione 3D

Rappresentare la rotazione nello spazio 3D, in particolare quando si vuole interpolare tra due stati di rotazione come nell'animazione 3D, è solitamente fatto usando il concetto algebrico dei quaternioni [4]. È divertente trovare capitoli sui "quaternioni" nei manuali utente di software come Maya e 3d studio.

Disegni a blocchi

In un certo senso questa è una generalizzazione dell'esempio dei "codici". I disegni a blocchi sono sistemi di insiemi finiti molto simmetrici; un bell'esempio concreto da tenere a mente è la seguente piccola sfida: trovare un insieme di 7 terzine di numeri nell'intervallo 1..7 tali che ogni coppia di numeri in questo intervallo appartenga precisamente a una terzina (cerca il Piano di Fano).

Questi disegni simmetrici sono utili in una varietà di contesti della vita reale, come la progettazione di esperimenti (è un buon modo per scegliere insiemi di campioni senza distorsioni) e - dice Wikipedia[5] - il test del software, anche se non ho molta familiarità con l'uso che se ne fa.

Ancora una volta, la costruzione di disegni a blocchi si basa pesantemente su strumenti dell'algebra astratta, in particolare campi finiti (specialmente geometrie proiettive e affini basate su campi finiti) e gruppi finiti.

[1] Huffman e Pless: Fundamentals of Error Correcting Codes.

[2] Stichtenoth: Campi di funzioni algebriche e codici.

[3] Lubotzky: Gruppi discreti, grafici in espansione e misure invarianti.

[4] http://en.wikipedia.org/wiki/Quaternion_rotation

[5] http://en.wikipedia.org/wiki/BIBD