Un cerchio è tangente a entrambi gli assi x e y e alla linea x+y=8. Quali sono le equazioni del cerchio?

Questo è un problema interessante. Dall'immagine allegata si vede che ci sono 4 possibili cerchi che soddisfano i criteri di cui sopra. 2 cerchi sono diversi e 2 cerchi sono identici per la legge di simmetria. Quindi ci sono 4 equazioni da risolvere.

Iniziamo con il cerchio più piccolo di raggio r. È inscritto in un triangolo rettangolo isoscele con lati lunghi 8 unità. Questo perché l'equazione y = -x + 8 ha pendenza -1 e crea un angolo di 45 gradi quando interseca gli assi x e y. L'ipotenusa di questo triangolo è 8sqroot2. Poiché un punto esterno al cerchio è equidistante da 2 punti tangenti al cerchio, 8 - 4sqroot2 deve essere uguale a r, ovvero 2,34 unità.

Ora il grande cerchio di raggio R. Dal centro di questo cerchio all'origine è uguale a Rsqroot2. Quindi l'altezza del triangolo sopra + R deve essere uguale a Rsqroot2. Risolvi per R = 4/(1- 1/sqroot2) che è uguale a circa 13,7 unità.

Finalmente i 2 cerchi identici. Puoi vedere che ancora una volta l'altezza di quel triangolo, che è 4sqroot2 è la chiave per capire r'. Infatti 8sqroot2 è uguale al diametro 2r'! Questo è vero perché la linea parallela a y= -x + 8 è esattamente a questa distanza. Quindi r'= 4sqroot2!

Ora possiamo scrivere le equazioni di tutti i cerchi usando la formula (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2. In questi casi h e k sono uguali ai raggi poiché i raggi sono alla stessa distanza dall'origine.

Cerchio piccolo : (x-2.34)^2 + (y-2.34)^2 = 2.34^2

Cerchio grande: (x-13.7)^2 + (y-13.7)^2 = 13.7^2

3° cerchio: (x+5.6)^2 + (y-5.6)^2 = 5.6^2

4° cerchio: (x-5.6)^2 + (y+5.6)^2 = 5.6^2