Quando si dovrebbe usare la mediana invece della media?

Disclaimer: non sembra che tu sia uno statistico professionista, quindi presumo che sia una domanda da profano e cerco di affrontarla in termini profani.

Quasi sempre, a meno che tu non abbia l'idea (anche ipoteticamente) di dividere la somma degli importi che stai misurando (ad esempio il reddito) tra le entità discrete a cui attribuisci questi importi (ad esempio le persone). In caso di dubbio, e se avete abbastanza punti dati (cioè non 2 o 3), usate la mediana - nel caso in cui la distribuzione non sia significativamente distorta, sarà comunque molto vicina alla media (media).

Per illustrare:

• Media della quantità di terra per cittadino americano: se si tratta di una pura ipotesi, come la quantità di terra che ognuno di noi avrebbe se solo la dividessimo tutta tra noi in parti uguali - usa la media. Se ha uno scopo pratico, volto a rispondere a domande come "quanta terra ha un cittadino americano medio?", usare la mediana.
• Reddito medio - stessa logica.
• Peso o altezza media di una persona. Poiché non c'è un modo fisico per condividere o ridistribuire l'altezza o il peso, la media come media è una statistica senza senso in questo caso. Ma dato che la distribuzione del peso e dell'altezza è normale, la mediana e la media saranno all'incirca le stesse.
• PIL medio pro capite - dato che si potrebbe ragionevolmente sostenere che ci siamo tutti dentro e che il contributo individuale al PIL è difficile da misurare, usare la media.
• Popolazione media delle città - a meno che non vi stiate chiedendo cosa sarebbe successo se gli abitanti delle città si fossero trasferiti per livellare la popolazione delle città, la media non ha molto senso. Usa la mediana.
• Consumo medio di energia - entrambe le metriche potrebbero avere senso, la mediana per rispondere alla domanda "quanta energia consuma una persona media" e la media per rispondere a un'altra domanda - "quanta energia ognuno di noi consumerebbe se il consumo fosse distribuito uniformemente".

Un buon modo per pensare alla mediana è che cerca di scegliere l'entità più rappresentativa tra quelle che stai studiando. Confronta:

• Qual è il reddito medio?
• Qual è il reddito di una persona media?

La mediana mira a rispondere a quest'ultima domanda - si sceglie un Joe medio, tale che precisamente metà della gente guadagnerà meno di lui, e un'altra metà guadagnerà di più.

P.S. Usare la media invece della mediana è uno dei travisamenti statistici più abusivi. Ci sono innumerevoli esempi di questo, e non pochi in cui è stato fatto l'errore opposto che ha influenzato le conclusioni.