Qual è la differenza tra una soluzione numerica e una analitica?

Per me è molto più facile capirlo con esempi che con definizioni.

Considera questa funzione: [math]f(x)=x^{2} [/math]e immaginate di voler conoscere il risultato di [math]\int f(x)dx. [/math]

Quindi secondo il tuo corso di calcolo per rispondere a questo si usa il teorema fondamentale del calcolo si trova la primitiva e la risposta è:

[math]\int f(x)dx=\dfrac{x^{3}}{3} [/math]

Ora immagina che la funzione sia dieci volte più complicata di questa e dopo ore di tentativi di risolverla scopri che ogni tecnica che hai imparato nel tuo corso di calcolo è inutile (un esempio di una funzione come questa è [math]g(x)=e^{x^{2}}[/math])

Sai che esiste una risposta perché ogni funzione continua ha un integrale, quindi cosa fai?

Beh, è qui che entrano in gioco le soluzioni numeriche.

Tutti quelli che hanno seguito un corso di calcolo adeguato, prima di imparare a risolvere gli integrali, imparano cos'è un integrale. Come introduzione si vede la seguente definizione:

[math] {displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=lim _{n\a} a \infty }{frac {(b-a)}{n}}sum _{k=1}^{n}f(a+k{frac {(b-a)}{n}})}[/math]

Calcolare questo limite è a volte quasi impossibile ma cosa succede se si vuole solo un certo grado di precisione (per esempio 10 cifre), allora puoi fare tante iterazioni di questa formula fino a quando non riempirai bene la tua risposta (anche se non è una soluzione esatta).

La prima procedura nella mia risposta è un esempio di soluzione analitica e la seconda è un esempio di soluzione numerica.