Qual è la differenza tra differenziazione implicita ed esplicita?

#y = -3/5x+7/5# dà #y# esplicitamente in funzione di #x#.

#3x+5y=7# dà esattamente la stessa relazione tra #x# e #y#, ma la funzione è implicita (nascosta) nell'equazione. Per rendere esplicita la funzione, risolviamo per #x#

In #x^2+y^2=25#, #y# non è una funzione di #x#. Tuttavia, ci sono due funzioni implicite nell'equazione. Possiamo rendere esplicite le funzioni risolvendo per #y#.

#y = +- sqrt(25-x^2)# è equivalente all'equazione sopra e ha 2 funzioni che non sono troppo difficili da rendere esplicite:

#y=sqrt(25-x^2)# dà #y# come una funzione di #x# e

#y=-sqrt(25-x^2)# dà #y# come una diversa funzione di #x#.

Possiamo differenziare le presentazioni implicite o esplicite.

Si ottiene una differenziazione implicita (lasciando implicite le funzioni)

#2x+2y dy/dx = 0# #" "# so #" "# #dy/dx = -x/y#

The #y# nella formula per il derivato è il prezzo che paghiamo per non rendere esplicita la funzione. Sostituisce la forma esplicita della funzione, qualunque essa sia.

Per qualificarti per il #y=sqrt(25-x^2)#, noi abbiamo #dy/dx = - x/sqrt(25-x^2)# (usa la regola del potere e della catena), e

for #y= - sqrt(25-x^2)#, noi abbiamo #dy/dx = x/sqrt(25-x^2)#.

L'equazione #y^5+4x^2y^2-3y+7x=28 # non può essere risolto algebricamente per #y#, (o comunque, alcune equazioni di 5 ° grado non possono essere risolte) ma ci sono diverse funzioni di #x# implicito nell'equazione. Li puoi vedere nel grafico dell'equazione (mostrato sotto).

graph{y^5+4x^2y^2-3y+7x=28 [-7.14, 6.91, -4.66, 2.36]}

Possiamo tagliare il grafico in pezzi, ognuno dei quali è il grafico di alcune funzioni di #x# su alcuni domini.

Differenziazione implicita ci permettono di trovare i derivati ​​di #y# rispetto a #x# senza rendendo esplicite le funzioni. In questo modo, possiamo trovare la pendenza della linea tangente al grafico nel punto #(1,2)#.