Qual è la serie McLaurin di #f (x) = sinh (x)?

Possiamo derivare la serie McLaurin per #sinh(x)# dall'una all'altra funzione esponenziale: come per ogni #n#:

#[(d^n)/(dx^n) e^x ]_(x=0) = e^0=1#

la serie Mc Laurin per #e^x# è:

#e^x=sum_(n=0)^oo x^n/(n!)#

Ora come:

#sinhx = (e^x-e^(-x))/2#

Abbiamo:

#sinhx = 1/2[sum_(n=0)^oo x^n/(n!)-sum_(n=0)^oo (-x)^n/(n!)]#

ed è facile vederlo per #n# anche i termini sono gli stessi e si annullano a vicenda, in modo che rimangano solo i termini dell'ordine dispari:

#sinhx = 1/2[sum_(k=0)^oo x^(2k+1)/((2k+1)!)-sum_(k=0)^oo (-1)^(2k+1)x^(2k+1)/((2k+1)!)] = 1/2[sum_(k=0)^oo x^(2k+1)/((2k+1)!)+sum_(k=0)^oo x^(2k+1)/((2k+1)!)] = sum_(k=0)^oo x^(2k+1)/((2k+1)!)#

Possiamo giungere direttamente alla stessa conclusione, osservando che:

#d/(dx) sinhx = coshx#

#d^2/(dx^2) sinhx = d/(dx)coshx = sinhx#

in modo che tutti i derivati ​​di ordine dispari siano uguali #coshx# e tutti i derivati ​​di pari ordine sono uguali #sinhx#

Ma #sinh(0) = 0# e #cosh(0) = 1# dando lo stesso risultato.