Quale altezza h e raggio base r massimizzerà il volume del cilindro se il contenitore a forma di cilindro circolare destro senza parte superiore ha una superficie # 3pi ft ^ 2 #?

Il volume massimo si verifica quando #r=1 " ft"# e #h=1 " ft"#.

Set-Up (trova la funzione da ottimizzare)
Per un cilindro il volume è #V= pi r^2 h#

E per un cilindro senza cima, la superficie è #A= pi r^2 + 2 pi rh#

Data la zona è #3 pi#, possiamo esprimere il volume usando una variabile anziché due.
#A= pi r^2 + 2 pi rh = 3 pi#.

Risolvere per #h# sembra più facile che risolverlo #r#, quindi proviamo così
(Ora funzionerà perché lo faccio da anni. Ma uno studente non ne è sicuro.)

#pi r^2 + 2 pi rh = 3 pi#.
porta a #h=(3 pi - pi r^2)/(2 pi r)=(3-r^2)/(2r)# (dominio: #r>0#)

Sostituendo nella formula il volume, otteniamo:

#V= pi r^2 ((3-r^2)/(2r))= pi/2(3r-r^3)# (dominio: #r>0#)

Questa è la funzione che ci è stato chiesto di massimizzare.

Ottimizzare la funzione

#V'= pi/2(3-3r^2)= (3 pi)/2(1-r^2)#

#V'=0# at #r=+-1#. notiamo che #-1# non è nel dominio, quindi l'unico punto critico è #r=1#

#V''(r)=-3 pi r#, Così #V''(1) < 0# e il secondo test derivativo ci dice che V (1) è un massimo locale. Il fatto che esista un solo punto critico ci consente di cambiare la parola "locale" in "globale".

Rispondere alla domanda

Ora rileggiamo la domanda per decidere come rispondere. Ci è stato chiesto #r# e #h# per ottenere il massimo volume.
quando #r=1# usiamo la sostituzione sopra per vederlo #h=(3-(1)^2)/(2(1))=2/2=1#

Risposta:
Il volume massimo si verifica quando #r=1 " ft"# e #h=1 " ft"#.