Quali sono alcuni esempi di funzioni non differenziabili?
Esistono tre modi in cui una funzione può essere non differenziabile. Esamineremo tutti e 3 i casi.
Caso 1
Una funzione non differenziabile in cui è discontinua.
Esempio (1a) f#(x)=cotx# non è differenziabile in #x=n pi# per tutto il numero intero #n#.
grafico {y = cotx [-10, 10, -5, 5]}
Esempio (1b) #f(x)= (x^3-6x^2+9x)/(x^3-2x^2-3x) # non è differenziabile in #0# ea #3# ea #-1#
Si noti che #f(x)=(x(x-3)^2)/(x(x-3)(x+1))#
Sfortunatamente, l'utilità grafica non mostra i buchi in #(0, -3)# e #(3,0)#
graph{(x^3-6x^2+9x)/(x^3-2x^2-3x) [-10, 10, -5, 5]}
Esempio 1c) Definisci #f(x)# essere #0# if #x# è un numero razionale e #1# if #x# è irrazionale. La funzione non è affatto differenziabile #x#.
Esempio 1d) descrizione: le funzioni definite a tratti possono presentare disconnessioni.
Caso 2
Una funzione non è differenziabile quando ha una "cuspide" o un "punto d'angolo".
Questo succede a #a# if #f'(x)# è definito per tutti #x# vicino #a# (tutti #x# in un intervallo aperto contenente #a#) tranne a #a#, ma #lim_(xrarra^-)f'(x) != lim_(xrarra^+)f'(x)#. (O perché esistono ma sono disuguali o perché uno o entrambi non esistono.)
Esempio 2a) #f(x)=abs(x-2)# Non è differenziabile in #2#.
(Questa funzione può anche essere scritta: #f(x)=sqrt(x^2-4x+4))#
grafico {abs (x-2) [-3.86, 10.184, -3.45, 3.57]}
Esempio 2b) #f(x)=x+root(3)(x^2-2x+1)# Non è differenziabile in #1#.
grafico {x + root (3) (x ^ 2-2x + 1) [-3.86, 10.184, -3.45, 3.57]}
Caso 3
Una funzione non è differenziabile in #a# se ha una linea tangente verticale in #a#.
#f# ha una linea tangente verticale in #a# if #f# è continuo a #a# e
#lim_(xrarra)abs(f'(x))=oo#
Esempio 3a) #f(x)= 2+root(3)(x-3)# ha una linea tangente verticale a #1#. E quindi non è differenziabile a #1#.
grafico {2+ (x-1) ^ (1/3) [-2.44, 4.487, -0.353, 3.11]}
Esempio 3b) Per alcune funzioni, consideriamo solo i limiti unilaterali: #f(x)=sqrt(4-x^2)# ha una linea tangente verticale in #-2# ea #2#.
#lim_(xrarr2)abs(f'(x))# Non esiste, ma
#lim_(xrarr2^-)abs(f'(x))=oo#
grafico {sqrt (4-x ^ 2) [-3.58, 4.213, -1.303, 2.592]}
Esempio 3c) #f(x)=root(3)(x^2)# ha una cuspide e una linea tangente verticale a #0#.
grafico {x ^ (2/3) [-8.18, 7.616, -2.776, 5.126]}
Ecco un link che potresti trovare utile:
http://socratic.org/calculus/derivatives/differentiable-vs-non-differentiable-functions