Come si utilizza il processo limite per trovare l'area della regione tra il grafico # y = 64-x ^ 3 # e l'asse x nell'intervallo [1,4]?

Per definizione di un integrale, quindi

# int_a^b f(x) dx #

rappresenta l'area sotto la curva #y=f(x)# fra #x=a# e #x=b#. Possiamo stimare quest'area sotto la curva usando rettangoli sottili. Più rettangoli utilizziamo, migliore diventa l'approssimazione e il calcolo si occupa del limite infinito di una serie finita di rettangoli infinitamente sottili.

Cioè

# int_a^b f(x) dx = lim_(n rarr oo) (b-a)/n sum_(i=1)^n f(a + i(b-a)/n)#

Qui abbiamo #f(x)=64-x^3# e partizioniamo l'intervallo #[1,4]# utilizzando:

# Delta = {1, 1+1*3/n, 1+2*3/n, ..., 1+n*3/n } #

E così:

# I = int_1^4 (64-x^3) dx #
# = lim_(n rarr oo) 3/n sum_(i=1)^n f(1+i*3/n)#
# = lim_(n rarr oo) 3/n sum_(i=1)^n f(1+(3i)/n)#
# = lim_(n rarr oo) 3/n sum_(i=1)^n {64 - (1+(3i)/n)^3}#
# = lim_(n rarr oo) 3/n sum_(i=1)^n {64 - (1+3((3i)/n)+3((3i)/n)^2+((3i)/n)^3)}#
# = lim_(n rarr oo) 3/n sum_(i=1)^n {63-(9i)/n-(27i^2)/n^2-(27i^3)/n^3}#

# = lim_(n rarr oo) 3/n {sum_(i=1)^n 63 - 9/n sum_(i=1)^ni-27/n^2 sum_(i=1)^n i^2-27/n^3sum_(i=1)^n i^3 }#

Utilizzando la formula di somma standard:

# sum_(r=1)^n r = 1/2n(n+1) #
# sum_(r=1)^n r^2 = 1/6n(n+1)(2n+1) #
# sum_(r=1)^n r^3 = 1/4n^2(n+1)^2 #

si ha:

# I = lim_(n rarr oo) 3/n {63n - 9/n 1/2n(n+1)-27/n^2 1/6n(n+1)(2n+1)-27/n^3 1/4n^2(n+1)^2 }#

# = lim_(n rarr oo) 3/n {63n - 9/2 (n+1)-9/(2n)(2n^2+3n+1)-27/(4n)(n^2+2n+1) }#

# = lim_(n rarr oo) 3/n 1/(4n) { 252n^2 - 18 n(n+1)-18(2n^2+3n+1)-27(n^2+2n+1) }#

# = lim_(n rarr oo) 3/(4n^2) { 252n^2 - 18n^2-18n-36n^2-54n-18-27n^2-54n-27 }#

# = lim_(n rarr oo) 3/(4n^2) { 171n^2 -123n-27 }#

# = 3/4 lim_(n rarr oo) { 171 -123/n-27/n^2 }#

# = 3/4 (171 -0-0) #

# = 513/4 #

Utilizzando Calculus

Se utilizziamo Calculus e la nostra conoscenza dell'integrazione per stabilire la risposta, per il confronto, otteniamo:

# int_1^4 64-x^3 dx = [ 64x-1/4x^4 ]_1^4 #
# " " = (256-64)-(64-1/4) #
# " " = 192 -255/4#
# " " = 513/4#