Come trovate tutte le soluzioni equazioni trigonometriche?

Come descrizione generale, ci sono 3 passaggi. Questi passaggi possono essere molto impegnativi o addirittura impossibili, a seconda dell'equazione.

Passaggio 1: trova i valori trigonometrici necessari per risolvere l'equazione.
Passaggio 2: trova tutti gli "angoli" che ci forniscono questi valori dal passaggio 1.
Passaggio 3: trova i valori dell'ignoto che risulteranno negli angoli che abbiamo ottenuto nel passaggio 2.

Esempio (lungo)
Risolvere: #2sin(4x- pi/3)=1#

Passaggio 1: l'unica funzione di attivazione in questa equazione è #sin#.
A volte è utile rendere le cose più semplici sostituendole, in questo modo:
sostituire #sin(4x- pi/3)# dalla singola lettera #S#. Ora dobbiamo trovare #S# fare #2S=1#. Semplice! Rendere #S=1/2#
Quindi dovrà essere una soluzione #sin(4x- pi/3)=1/2#

Step 2: L'angolo in questa equazione è #(4x- pi/3)#. Per il momento, chiamiamolo così #theta#. Abbiamo bisogno #sin theta = 1/2#
Ce ne sono infiniti #theta#, dobbiamo trovarli tutti.

Ogni #theta# quello fa #sin theta = 1/2# è coterminale con nessuno dei due #pi/6# o con #(5 pi)/6#. (Passa attraverso un periodo del grafico o una volta attorno al cerchio dell'unità.)

So #theta# Che, ricorda, è il nostro modo breve di scrivere #4x- pi/3# deve essere nella forma: #theta = pi/6+2 pi k# per qualche numero intero #k# o del modulo #theta = (5 pi)/6 +2 pi k# per qualche numero intero #k#.

Passo 3:
Sostituzione #theta# nell'ultima parte del passaggio 2, vediamo che abbiamo bisogno di uno di: #4x- pi/3 = pi/6+2 pi k# per intero #k#

or #4x- pi/3 = (5 pi)/6+2 pi k# per intero #k#.

Aggiunta # pi/3# nella forma #(2 pi)/6# ad entrambi i lati di queste equazioni ci dà:
#4x = (3 pi)/6+2 pi k = pi/2+2 pi k# per intero #k# or
#4x = (7 pi)/6+2 pi k# per intero #k#.

Dividendo per #4# (moltiplicando per #1/4#) ci porta a:

#x= pi/8+(2pi k)/4# or
#x=(7 pi)/24+(2 pi k)/4# per intero #k#.

Possiamo scriverlo in forma più semplice:
#x= pi/8+pi/2 k# or
#x=(7 pi)/24+pi/2 k# per intero #k#.

Nota finale L'intero #k# potrebbe essere un numero intero positivo o negativo o 0. Se #k# è negativo, stiamo effettivamente sottraendo dalla soluzione di base.