Come si usano le formule di somma per riscrivere l'espressione #Sigma (4i ^ 2 (i-1)) / n ^ 4 # come k = da 1 a n senza la notazione di somma e quindi usare il risultato per trovare la somma per n = 10, 100, 1000 e 10000?

Let # S_n = sum_(i=1)^n (4i^2(i-1))/n^4 #
# :. S_n = 4/n^4sum_(i=1)^n (i^3-i^2) #
# :. S_n = 4/n^4{sum_(i=1)^n i^3 - sum_(i=1)^n i^2 }#

E usando i risultati standard:
# sum_(r=1)^n r^2 = 1/6n(n+1)(2n+1) " ; " sum_(r=1)^n r^3 = 1/4n^2(n+1)^2#

Abbiamo;

# S_n = 4/n^4{ 1/4n^2(n+1)^2 - 1/6n(n+1)(2n+1)} #
# :. S_n = 4/n^4 ( (n(n+1))/12){ 3n(n+1) - 2(2n+1) } #
# :. S_n = ((n+1))/(3n^3) { 3n^2+3n-4n-2 } #
# :. S_n = ((n+1))/(3n^3) ( 3n^2-n-2 ) #

E questo è stato calcolato usando Excel per #n=10, 100, 1000, 10000#

Cosa succede come #n rarr oo#?

[NB Come ulteriore compito potremmo eventualmente concludere che #n rarr oo# poi #S_n rarr 1#; Questa è probabilmente la conclusione di questa domanda]

Adesso, # S_n = ((n+1))/(3n^3) ( 3n^2-n-2 ) #

# :. S_n = 1/(3n^3)( 3n^3-n^2-2n + 3n^2-n-2 )#
# :. S_n = 1/(3n^3)( 3n^3+2n^2 -3n-2)#
# :. S_n = 1/3( 3+2/n -3/n^2-2/n^3)#

E così,

# lim_(n rarr oo) S_n = lim_(n rarr oo) 1/3( 3+2/n -3/n^2-2/n^3) #
# :. lim_(n rarr oo) S_n = 1/3( 3+0 -0-0) #
# :. lim_(n rarr oo) S_n = 1 #

Il che conferma il nostro presupposto!