Qual è l'integrale di # (cosx) ^ 2 #?

Useremo l'identità del doppio angolo del coseno per riscrivere #cos^2x#. (Nota che #cos^2x=(cosx)^2#, sono modi diversi di scrivere la stessa cosa.)

#cos(2x)=2cos^2x-1#

Questo può essere risolto per #cos^2x#:

#cos^2x=(cos(2x)+1)/2#

Così,

#intcos^2xdx=int(cos(2x)+1)/2dx#

Dividi l'integrale:

#=1/2intcos(2x)dx+1/2intdx#

Il secondo integrale è l '"integrale perfetto:" #intdx=x+C#.

#=1/2intcos(2x)dx+1/2x#

La costante di integrazione verrà aggiunta dopo aver valutato l'integrale rimanente.

Per l'integrale coseno, utilizzare la sostituzione. Permettere #u=2x#, Il che implica che #du=2dx#.

Moltiplica l'integrando #2# e l'esterno dell'integrale di #1/2#.

#=1/4int2cos(2x)dx+1/2x#

Sostituire in #u# e #du#:

#=1/4intcos(u)du+1/2x#

Si noti che #intcos(u)du=sin(u)+C#.

#=1/4sin(u)+1/2x+C#

Dal #u=2x#:

#=1/4sin(2x)+1/2x+C#

Si noti che questo può essere in molti modi diversi, da allora #sin(2x)=2sinxcosx#.