Trova i valori di # x # per i quali le seguenti serie sono convergenti?

Quando si cerca di determinare il raggio e / o l'intervallo di convergenza di serie di potenze come queste, è meglio usare il Ratio Test, che ci dice per una serie #suma_n#, lasciamo

#L=lim_(n->oo)|a_(n+1)/a_n|#.

If #L<1# la serie è assolutamente convergente (e quindi convergente)

If #L>1#, la serie diverge.

If #L=1,# il test del rapporto non è conclusivo.

Per la serie Power, tuttavia, sono possibili tre casi

un. La serie di potenze converge per tutti i numeri reali; il suo intervallo di convergenza è #(-oo, oo)#
b. La serie di potenze converge per un certo numero #x=a;# il suo raggio di convergenza è zero.
c. Il caso più frequente per cui convergono le serie di potenze #|x-a|<R# con un intervallo di convergenza di #a-R<x<a+R# dove dobbiamo testare gli endpoint per vedere cosa succede con loro.

Ecco,

#a_n=(2x-3)^n#

#a_(n+1)=(2x-3)^(n+1)=(2x-3)(2x-3)^n#

Quindi, applica il test del rapporto:

#lim_(n->oo)|((cancel((2x-3)^n)(2x-3))/cancel((2x-3)^n))|#

#|2x-3|lim_(n->oo)1=|2x-3|#

Quindi, se #|2x-3|<1#, la serie converge. Ma ne abbiamo bisogno nella forma #|x-a|<R:#

#|2(x-3/2)|<1#

#2|x-3/2|<1#

#|x-3/2|<1/2# provoca convergenza. Il raggio di convergenza è #R=1/2.#

Ora, determiniamo l'intervallo:

#-1/2<x-3/2<1/2#

#-1/2+3/2<x<1/2+3/2#

#1<x<2#

Dobbiamo collegare #x=1, x=2# nella serie originale per vedere se abbiamo convergenza o divergenza in questi endpoint.

#x=1: sum_(n=0)^oo(2(1)-3)^n=sum_(n=0)^oo(-1)^n# diverge, il summand non ha limiti e sicuramente non va a zero, alterna solo segni.

#x=2: sum_(n=0)^oo(4-3)^n=sum_(n=0)^oo1# diverge anche dal test di divergenza, #lim_(n->oo)a_n=lim_(n->oo)1=1 ne 0#

Pertanto, la serie converge per #1<x<2#