Come trovo l'equazione per una linea tangente senza derivate?

La pendenza della linea tangente è la pendenza istantanea della curva. Quindi se aumentiamo il valore dell'argomento di una funzione di una quantità infinitesimale, allora la risultante modifica del valore della funzione, divisa per l'infinitesimale darà la pendenza (modulo che prende la parte standard scartando tutti gli infinitesimi rimanenti).

Ad esempio, supponiamo di voler trovare la tangente #f(x)# at #x=2#, dove:

#f(x) = x^3-3x^2+x+5#

lasciare #epsilon > 0# essere un valore infinitesimale. Poi:

#(f(2+epsilon) - f(2))/epsilon#

#=(((2+epsilon)^3-3(2+epsilon)^2+(2+epsilon)+5)-((2)^3-3(2)^2+(2)+5))/epsilon#

#=(((8+12epsilon+6epsilon^2+epsilon^3)-3(4+4epsilon+epsilon^2)+(2+epsilon)+5)-(8-12+2+5))/epsilon#

#=((12epsilon+6epsilon^2+epsilon^3)-(12epsilon+3epsilon^2)+epsilon)/epsilon#

#=(epsilon+3epsilon^2+epsilon^3)/epsilon#

#=1+3epsilon+epsilon^2#

di cui la parte standard (cioè finita) è #1# (scartando il #3epsilon+epsilon^2#).

Quindi la pendenza della tangente è #1# e il punto tangente è:

#(2, f(2)) = (2, 3)#

Quindi l'equazione della tangente può essere scritta:

#(y-3) = 1(x-2)#

o più semplicemente:

#y = x+1#

grafico {(y- (x ^ 3-3x ^ 2 + x + 5)) (yx-1) = 0 [-3.355, 6.645, 1.38, 6.38]}