Come dimostrerai che il lavoro svolto nel processo isotermico è sempre maggiore del processo adiabatico?

Presumo che tu intenda per un gas ideale. È molto più difficile per un vero gas ...

Ci concentreremo su reversibile lavoro, perché è il massimo lavoro che si può fare. È l'unico confronto equo, perché esistono infinite combinazioni di percorsi di lavoro irreversibili.

The isotermo e adiabatico equazioni di stato dei gas ideali sono, rispettivamente#""^(‡)#:

#PV = "const"#

#PV^gamma = "const"#, #" "##gamma = barC_P/barC_V = (barC_V + R)/(barC_V) = 1 + R/(barC_V)#

#""^(‡)#The full derivation for the #PV# expressions is shown here!

Per confrontare le quantità di lavoro fotovoltaico, esaminiamo la pendenza, #(dP)/(dV)# in entrambi gli scenari. Il lavoro reversibile è l'area sotto la curva di un grafico FV, quindi la pendenza più ripida darebbe una quantità minore di lavoro per lo stesso #DeltaV#.

Dalle forme differenziali:

isotermico:

#d(PV) = PdV + VdP = 0#

#=># #color(blue)(barul|stackrel(" ")(" "((delP)/(delV))_T = -P/V" ")|)#

Adiabatico:

#d(PV^gamma) = P cdot d(V^gamma) + V^gamma dP#

#= P cdot gammaV^(gamma-1)dV + V^gamma dP = 0#
(where we had used the chain rule on the first term to recover #dV#)

Dividendo attraverso #V^gamma# dà:

#=> gammaP/VdV + dP = 0#

#=> dP = -gammaP/VdV#

Di conseguenza, per un adiabatico processo,

#color(blue)(barul|stackrel(" ")(" "((delP)/(delV))_q = -gamma P/V " ")|)#

Qui abbiamo un #gamma# termine che è sempre maggiore di #1#.

Questo ci dice che se il gas sta facendo un lavoro isotermico, la pendenza è generalmente meno ripido. Pertanto, il lavoro svolto (l'area sotto la curva FV) è in genere maggiore.

Ecco un grafico di un problema che ho riscontrato a Levine:

Se il gas si sta espandendo, segue la curva verso il basso. Se il gas si sta comprimendo, segue la curva verso l'alto. In entrambi i casi l'area sotto la curva è il lavoro reversibile svolto.