Come si utilizza il processo limite per trovare l'area della regione tra il grafico # y = 16-x ^ 2 # e l'asse x nell'intervallo [1,3]?

#int_a^b f(x) dx = lim_(nrarroo) sum_(i=1)^n f(x_i)Deltax#.

Dove, per ogni numero intero positivo #n#, lasciamo #Deltax = (b-a)/n#

E per #i=1,2,3, . . . ,n#, lasciamo #x_i = a+iDeltax#. (Questi #x_i# sono gli estremi giusti dei sottointervalli.)

Preferisco fare questo tipo di problema un piccolo passo alla volta.

#int_1^3 (16-x^2) dx#.

Trova #Delta x#

Per ciascun #n#, noi abbiamo

#Deltax = (b-a)/n = (3-1)/n = 2/n#

Trova #x_i#

E #x_i = a+iDeltax = 1+i2/n = 1+(2i)/n#

Trova #f(x_i)#

#f(x_i) = 16-(x_i)^2 = 16-(1+(2i)/n)^2#

# = 16-(1+(4i)/n+(4i^2)/n^2)#

# = 15 -(4i)/n - (4i^2)/n^2#

Trova e semplifica #sum_(i=1)^n f(x_i)Deltax # per valutare le somme.

#sum_(i=1)^n f(x_i)Deltax = sum_(i=1)^n( 15 -(4i)/n - (4i^2)/n^2) 2/n#

# = sum_(i=1)^n( 30/n -(8i)/n^2 - (8i^2)/n^3)#

# =sum_(i=1)^n ( 30/n) - sum_(i=1)^n((8i)/n^2) - sum_(i=1)^n((8i^2)/n^3)#

# =30 /nsum_(i=1)^n ( 1)-8/n^2sum_(i=1)^n(i)-8/n^3sum_(i=1)^n(i^2) #

Valuta le somme

# = 30/n(n) -8/n^2((n(n+1))/2) - 8/n^3((n(n+1)(2n+1))/6)#

(Abbiamo usato le formule di somma per le somme nel passaggio precedente.)

Riscrivi prima di trovare il limite

#sum_(i=1)^n f(x_i)Deltax = 30/n(n) - 8/n^2((n(n+1))/2) - 8/n^3((n(n+1)(2n+1))/6)#

# = 30 - 4((n(n+1))/n^2) - 4/3((n(n+1)(2n+1))/n^3)#

Ora dobbiamo valutare il limite as #nrarroo#.

#lim_(nrarroo) ((n(n+1))/n^2) = 1#

#lim_(nrarroo) ((n(n+1)(2n+1))/n^3) = 2#

Per finire il calcolo, abbiamo

#int_0^1 x^2 dx = lim_(nrarroo) (30 - 4((n(n+1))/n^2) - 4/3((n(n+1)(2n+1))/n^3)#

# = 30 - 4(1) - 4/3(2)#

# = 90/3 - 12/3 - 8/3 = 70/3#.