Come risolvi questa domanda di ottimizzazione?

Prendi il primo derivato rispetto a #N:#

#y'=((1+N^2)k-kN(2N))/(1+N^2)^2#

#y'=(k+kN^2-2kN^2)/(1+N^2)^2#

#y'=(k-kN^2)/(1+N^2)^2#

Uguale a #0# e risolvere per #N#:

#(k-kN^2)/(1+N^2)^2=0#

#k(1-N^2)=0#

#1-N^2=0#

#N^2=1#

#N=+-1->N=1# è l'unica risposta possibile in quanto non possiamo avere un livello di azoto negativo.

La "migliore resa" implicherebbe #y# essere al massimo. Per assicurare che #N=1# dà un massimo per #y#, valutare #y'# nei seguenti intervalli:

#[0, 1), (1, oo)# per determinare se #y'# è positivo (#y# sta aumentando) o #y'# è negativo (#y# sta diminuendo) in ogni intervallo.

If #N=1# è un massimo, quindi #y'# sarà positivo prima di raggiungere #N=1# e in seguito negativo:

#[0,1):#

#y'(0)=(k-k(0))/1^2=k>0# Così, #y# sta aumentando #[0, N)#

#(1, oo):#

#y'(2)=((k-4k)/(1+4)^2)=-(3k)/25<0# Così, #y# sta diminuendo #(1, oo)# e la massima resa possibile si verifica con #N=1#.