Puoi darmi un esempio di un numero irrazionale compreso tra # 5 e 6? #

Da:

#5^2 = 25 < 26 < 36 = 6^2#

si ha:

#5 < sqrt(26) < 6#

Per dimostrarlo #sqrt(26)# è irrazionale, supponiamo:

#x = 5+1/(5+x)#

per alcuni #x > 0#

Moltiplicando entrambe le parti per #5+x# questo diventa:

#5x+x^2 = 25+5x+1#

sottraendo #5x# da entrambi i lati, e semplificando, questo diventa:

#x^2 = 26#

Così:

#x = sqrt(26)#

Quindi abbiamo mostrato:

#sqrt(26) = 5 + 1/(5+sqrt(26))#

#color(white)(sqrt(26)) = 5 + 1/(10+1/(10+1/(10+1/(10+...))))#

Poiché questa frazione continua non termina, non è espressibile come frazione terminale. Quindi è irrazionale.