Carica in un guscio sferico conduttore?

Dal il campo elettrico deve necessariamente svanire all'interno del volume della sfera conduttrice, le cariche devono spostarsi in modo tale da annullare il campo elettrico a causa della carica #q# al centro.

Superficie interna: Considera una sfera immaginaria che racchiude la superficie interna del raggio #a#, che giace appena fuori da questa superficie e all'interno del volume della sfera conduttiva. Di Legge di Gauss il flusso elettrico attraverso questa superficie è correlato al carica totale racchiuso da questa superficie,

Di Gauss Law, #Phi_E = oint vec E.vec(ds) = (q+q_a)/epsilon_0#
where #q# è la carica al centro e #q_a# è la carica indotta totale sulla superficie interna.

Poiché il campo elettrico svanisce ovunque all'interno del volume di un buon conduttore, il suo valore è zero ovunque sulla superficie gaussiana che abbiamo considerato. Quindi l'integrale di superficie è zero.

#Phi_E = oint vec E.vec(ds) = (q+q_a)/epsilon_0 = 0; qquad rightarrow q_a = -q# ...... (1)
Questa è la carica totale indotta sulla superficie interna. Poiché il campo elettrico proveniente dalla centra; l carica è sfericamente simmetrica, anche questa carica indotta deve essere distribuita uniformemente.

Quindi la densità di carica sulla sfera interna è: #sigma_a = q_a/(4pia^2) = -q/(4pia^2)#

Superficie esterna: La carica netta sulla superficie esterna ha due componenti: carica gratuita #q_b^{"free"} = Q# e carica indotta #q_b^{"ind"}#

#q_b = q_b^{"ind"} + q_b^{"free"} = q_b^{"ind"}+Q#

Poiché le cariche indotte sono il risultato della polarizzazione dovuta al campo elettrico della carica centrale, la carica indotta netta sul superfici interne ed esterne del buon conduttore deve essere zero:

#q_a + q_b^{"ind"} = 0; qquad q_b^{"ind"} = -q_a#

scrittura #q_a# in termini di #q# utilizzando (1), #quad q_b^{"ind"} = -q_a = q#

Quindi la carica totale sulla superficie esterna è: #q_b = Q + q#

Quindi la densità di carica sulla sfera esterna è: #sigma_b = q_b/(4pib^2) = (Q+q)/(4pib^2)#