Che cos'è un integrale?

In matematica, parliamo di due tipi di integrali. Integrali definiti e integrali indefiniti.

Generalmente, un integrale assegna i numeri alle funzioni in modo tale da descrivere lo spostamento, l'area, il volume e persino la probabilità.

Integrali definiti

Questo tipo di integrale si riferisce a valori numerici. È usato in matematica pura, matematica applicata, statistica, scienza e molti altri. Tuttavia, descrive il concetto basilare di un integrale definito aree.

L'integrale definito di una funzione $f$ $f$ per un intervallo $[a, b]$ $[a,b]$ rappresenta l'area definita dalla funzione e l'asse x dal punto $a$ $a$ puntare $b$ $b$ , Come mostrato di seguito.

Il simbolo utilizzato per rappresentare questa area $S$ $S$ e integrale, rispettivamente, è

$S = \int_{a}^{b} f (x) d x$ $S=int_a^b f(x)"d"x$ , Dove

$⋄ f is called the integrand$ $diamond f " is called the integrand"$
$⋄ a and b are the lower and upper bounds$ $diamond a and b " are the lower and upper bounds"$
$⋄ x is a dummy variable$ $diamond x " is a dummy variable"$

Forse ti starai chiedendo cosa $d x$ $"d"x$ si intende. Formalmente, non significa nulla, ma piuttosto ti dice quale variabile stai differenziando rispetto o nel nostro caso, ti dice la variabile di integrazione.

Quando diciamo l'area definita dalla funzione $f$ $f$ con l'asse x, intendiamo il area netta. L'area netta non è la stessa dell'area assoluta.

Se il grafico della funzione è sopra l'asse x, allora si dice che l'area netta è positiva. Se è inferiore, l'area netta è negativa. All'inizio potrebbe essere più difficile da capire. Questo è visualizzato di seguito:

Ad esempio, supponiamo che abbiamo il compito di trovare l'area netta sotto la curva $f (x) = x^{2}$ $f(x)=x^2$ da $0$ $0$ a $1$ $1$ :

Nel nostro caso,

$S = \int_{0}^{1} x^{2} d x$ $S = int_0^1 x^2 "d"x$

Per non complicare questa risposta, ecco un video che la descrive in modo più dettagliato:

Come tale, è stato dimostrato che $S = \frac{1}{3}$ $S=1/3$ .

Possiamo fare un caso generale qui; per ogni $n \neq - 1$ $n!=-1$ ,

$\int_{0}^{τ} x^{n} d x = \frac{τ^{n + 1}}{n + 1}$ $int_0^tau x^n "d"x = tau^(n+1)/(n+1)$

Allo stesso tempo, il video descrive Riemann fa una somma. Questi sono usati per calcolare gli integrali. Generalmente, la somma di Riemann di una funzione $ϕ$ $phi$ is

$int_a^b phi(x)dx = lim_(n->oo) sum_(i=an)^(bn) phi(x_i)Deltax_i$

where $Deltax_i = x_i-x_(i-1)$ e $x_i$ , come menzionato nel video sopra, rappresentano alcuni "segni" sull'asse x. Una possibile soluzione è lasciare $x_i=i"/"n$ . Poi $Deltax_i = 1"/"n$ . Sebbene ciò sia generalmente più semplice, potrebbe non essere il modo più semplice o veloce per calcolare gli integrali.

Se ricordiamo il caso generale formato in precedenza, sull'integrale di $x^n$ da $0$ a $tau$ ; bene, questa è chiamata la regola del potere. Esistono molte, diverse modalità di formule per integrali, che non tratterò in questa risposta. Questa è solo un'idea molto generale di cosa siano gli integrali.

Integrali indefiniti

Questi sono rappresentati come integrali con limiti. Permettere $I$ essere l'integrale indefinito di una funzione $f$ .

$I=int f(x)"d"x$

Puoi pensare agli integrali indefiniti come generalizzazioni di quelli definiti.

Invece di essere definiti da aree, volumi o qualcos'altro, gli integrali indefiniti sono correlati ai derivati. L'integrale indefinito di una funzione $f$ è anche chiamato il antiderivata ed è spesso notato come $F(x)$ .

The Teorema fondamentale del calcolo colma il divario tra una funzione, il suo derivato e il suo integrale indefinito. Fondamentalmente, lo dice $F$ è definita come la funzione che, quando differenziata, dà $f$ :

$F'(x) = f(x)$

Ora, supponiamo di voler trovare l'antiderivativo della funzione $f(x)=x^2$ .

$F(x) = int f(x)"d"x=intx^2"d"x$

Usando la nostra precedente definizione, quale funzione dobbiamo differenziare per ottenere $x^2$ ? La regola del potere per i derivati afferma che, se $f(x)=x^n$ , poi $f'(x) = nx^(n-1)$ . Come tale, se assumiamo $F(x)$ essere una funzione algebrica del tipo

$F(x) = "constant"*x^"exponent"$ , noi abbiamo:

$F(x) = cx^k => F'(x) = ckx^(k-1)$

Solo che questo non è completo. Ricorda che, differenziando una costante rispetto a una variabile, praticamente scompare, da cui la vera forma di $F(x)$ is

$F(x) = "constant"_1*x^"exponent"+"constant"_2$

lasciare $alpha$ e $C$ essere le due costanti e $k$ l'esponente.

$F(x) = alphax^k + C => F'(x) = alphakx^(k-1)$

Dal $F'(x) = f(x)$ , possiamo concludere che

$alphakx^(k-1)=x^2=>{(k-1=2),(alphak=1) :}<=>{(k=3),(alpha=1/3) :}$

$:. int x^2"d"x = x^3/3+C$

Analogamente, se definiamo $f(x) = x^n$ for $n!=-1$ , poi

$F(x) = int x^n "d"x = x^(n+1)/(n+1)+C$

$C$ è chiamata la costante di integrazioni ed è semplicemente una costante casuale. Non è un valore particolare. È lì solo per motivi di correttezza.

Colmare il divario tra integrali definiti e indefiniti

Il nostro precedente antiderivativo di $x^n$ assomiglia a qualcosa che abbiamo ottenuto in precedenza parlando di integrali definiti. Lo vediamo, se lo permettiamo $C$ essere $0$ , poi

$F_((C=0))(tau) = tau^(n+1)/(n+1)$

Ma sappiamo che anche questo è uguale a $int_0^tau x^n "d"x$ :

$F_((C=0))(tau) = int_0^tau x^n "d"x$

È qui che è visibile la connessione tra integrali definiti e integrali indefiniti, dichiarata formalmente di seguito:

If $F(x)$ è l'antiderivativo di una funzione $f(x)$ e lasciamo $C=0$ , poi

$int_a^b f(x) "d"x = F(b)-F(a)$

Spero che questa risposta non sia stata troppo intimidatoria.

Che cos'è un integrale?

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