Che cos'è un oscillatore armonico quantistico?

The oscillatore armonico quantistico è essenzialmente un problema a due corpi costituito da due sfere solide collegate da una molla.

Una versione base di questo è chiamata oscillatore armonico semplice (SHO), in cui la molla non ha alcun fattore di smorzamento (nessuna costante di anarmonicità):

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/

Poiché non esiste alcun fattore di smorzamento, il energia i livelli sono equidistanti, separati da #ℏomega#, o #hnu# (l'oscillatore anarmonico avrebbe una convergenza quadratica dei livelli di energia). Inoltre, il livello di energia più basso è #1/2ℏomega#, e non #0#.

The Operatore hamiltoniano per il sistema SHO in una dimensione è:

#color(blue)(hatH_"SHO") = hatK + hatV#

#= -ℏ^2/(2mu)d^2/(dx^2) + 1/2kx^2#

#= [-iℏd/(dx)]^2/(2mu) + 1/2kx^2#

#= color(blue)(hatp^2/(2mu) + 1/2kx^2)#

where #mu = (m_1m_2)/(m_1 + m_2)# is the reduced mass, #hatp# is the momentum operator, #k# is the force constant, and #x# is the relative displacement from equilibrium. #hatK# and #hatV# were the kinetic and potential energy operators.

Il normalizzato Funzione d'onda per il #upsilon#il livello di energia in generale è il prodotto di un polinomio di Hermite e di un esponenziale in decomposizione.

#color(blue)(psi_(upsilon)(x) = N_(upsilon)H_(upsilon)(sqrtalphax)e^(-alphax^2"/"2))#

where:

  • #N_(upsilon) = [1/(2^(upsilon) upsilon!)(alpha/(pi))^"1/2"]^"1/2"# is the normalization constant.
  • #H_(upsilon)(sqrtalphax) = (-1)^(upsilon)e^(-alphax^2)d^(upsilon)/(d (sqrtalphax)^(upsilon))[e^(-alphax^2)]# is the Hermite polynomial.
  • #alpha = sqrt((kmu)/(ℏ^2))# is a variable defined for convenience of expressing the function.

Applicazione del metodo variazionale su alcune funzioni wave di prova, #psi_0(x) = Ne^(-cx^2)#, Dove #N = ((2c)/pi)^"1/4"# dopo la normalizzazione, ti darebbe:

#color(blue)(E_0 = 1/2ℏomega)#

che è in generale,

#bb(E_(upsilon) = ℏomega(upsilon + 1/2))#,

come mostrato nella prima immagine.

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