Come appare il grafico della settima radice dell'unità su un cerchio unitario come quello nella figura allegata?
Risposta:
Ci sono Sette settime radici dell'unità, #e^{ {2pi k i }/7}#, tutti nel cerchio dell'unità, #r=1# sopra. Il primo è a #theta={2pi}/7 = 360^circ/7 = 51 3/7 ^circ #e ce ne sono altri a #{4pi}/7, {6pi}/7, {8pi}/7, {10 pi}/7, {12 pi}/7 # e ovviamente a #0# radianti, cioè l'unità stessa.
Spiegazione:
L'identità di Eulero con un potere intero pari di #2k# dicci
#(e^{i pi})^{2 k} = (-1)^{2k} #
#e^{2pi k i} = 1#
Adesso vediamo
#1^(1/7) = (e^{2pi k i})^{1/7} = e^{ {2pi k i }/7} #
Sono sette le sette radici distinte, date da sette consecutivi #k#S. (Dopo di che ripetono.)