Come calcolo l'angolo tra due vettori?

È possibile utilizzare il prodotto punto per risolvere questo problema. Vedere http://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product

Il prodotto punto è un'operazione su due vettori. Esistono due diverse definizioni di prodotto punto. Permettere #vec(A)=[A_1,A_2,...,A_n]# essere un vettore e #vec(B)=[B_1,B_2,...,B_n]# essere un altro vettore, quindi abbiamo 2 formule per il prodotto punto:

1) Definizione algebrica:

#vec(A) cdot vec(B) = sum_1^n A_i B_i = A_1 B_1 + A_2 B_2 + ... + A_n B_n#

2) Definizione geometrica:

#vec(A) cdot vec(B) = ||vec(A)|| ||vec(B)||cos(theta)#

where #theta# è l'angolo tra #vec(A)# e #vec(B)# e #||vec(A)||# indica la grandezza di #vec(A)# e ha la formula:

#||vec(A)|| = sqrt(A_1^2 + A_2^2 + ... + A_n^2)#

Possiamo risolvere molte domande (come l'angolo tra due vettori) combinando le due definizioni:

#sum_1^n A_i B_i = ||vec(A)|| ||vec(B)||cos(theta)#

or

#A_1 B_1 + A_2 B_2 + ... + A_n B_n = (sqrt(A_1^2 + A_2^2 + ... + A_n^2))(sqrt(B_1^2 + B_2^2 + ... + B_n^2))cos(theta)#

Se abbiamo due vettori, allora l'unico sconosciuto è #theta# nell'equazione sopra, e quindi possiamo risolvere #theta#, che è l'angolo tra i due vettori.

esempio:

Q: Dato #vec(A) = [2, 5, 1]#, #vec(B) = [9, -3, 6]#, trova l'angolo tra di loro.

A:
Dalla domanda, vediamo che ogni vettore ha tre dimensioni. Dall'alto, la nostra formula diventa:

#A_1 B_1 + A_2 B_2 + A_3 B_3 = (sqrt(A_1^2 + A_2^2 + A_3^2))(sqrt(B_1^2 + B_2^2 + B_3^2))cos(theta)#

Lato sinistro:

#A_1 B_1 + A_2 B_2 + A_3 B_3 = (2)(9) + (5)(-3) + (1)(6) = 9#

Lato destro:

#||vec(A)|| = sqrt(A_1^2 + A_2^2 + A_3^2) = sqrt(2^2 + 5^2 + 1^2) = sqrt(30)#
#||vec(B)|| = sqrt(B_1^2 + B_2^2 + B_3^2) = sqrt(9^2 + (-3)^2 + 6^2) = sqrt(126)#
#theta# è sconosciuto

Collega tutto alla formula, otteniamo:

#9 = (sqrt(30))(sqrt(126))cos(theta)#

Risolvere per #theta#:

#cos(theta) = frac(9)((sqrt(30))(sqrt(126))#
#theta = cos^-1(frac(9)((sqrt(30))(sqrt(126))))#

Usando una calcolatrice, otteniamo:

#theta = 81.58# gradi

Guarda il seguente video di ...

Esempio di angolo tra i vettori

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