Come calcolo l'angolo tra due vettori?
È possibile utilizzare il prodotto punto per risolvere questo problema. Vedere http://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product
Il prodotto punto è un'operazione su due vettori. Esistono due diverse definizioni di prodotto punto. Permettere #vec(A)=[A_1,A_2,...,A_n]# essere un vettore e #vec(B)=[B_1,B_2,...,B_n]# essere un altro vettore, quindi abbiamo 2 formule per il prodotto punto:
1) Definizione algebrica:
#vec(A) cdot vec(B) = sum_1^n A_i B_i = A_1 B_1 + A_2 B_2 + ... + A_n B_n#
2) Definizione geometrica:
#vec(A) cdot vec(B) = ||vec(A)|| ||vec(B)||cos(theta)#
where #theta# è l'angolo tra #vec(A)# e #vec(B)# e #||vec(A)||# indica la grandezza di #vec(A)# e ha la formula:
#||vec(A)|| = sqrt(A_1^2 + A_2^2 + ... + A_n^2)#
Possiamo risolvere molte domande (come l'angolo tra due vettori) combinando le due definizioni:
#sum_1^n A_i B_i = ||vec(A)|| ||vec(B)||cos(theta)#
or
#A_1 B_1 + A_2 B_2 + ... + A_n B_n = (sqrt(A_1^2 + A_2^2 + ... + A_n^2))(sqrt(B_1^2 + B_2^2 + ... + B_n^2))cos(theta)#
Se abbiamo due vettori, allora l'unico sconosciuto è #theta# nell'equazione sopra, e quindi possiamo risolvere #theta#, che è l'angolo tra i due vettori.
esempio:
Q: Dato #vec(A) = [2, 5, 1]#, #vec(B) = [9, -3, 6]#, trova l'angolo tra di loro.
A:
Dalla domanda, vediamo che ogni vettore ha tre dimensioni. Dall'alto, la nostra formula diventa:
#A_1 B_1 + A_2 B_2 + A_3 B_3 = (sqrt(A_1^2 + A_2^2 + A_3^2))(sqrt(B_1^2 + B_2^2 + B_3^2))cos(theta)#
Lato sinistro:
#A_1 B_1 + A_2 B_2 + A_3 B_3 = (2)(9) + (5)(-3) + (1)(6) = 9#
Lato destro:
#||vec(A)|| = sqrt(A_1^2 + A_2^2 + A_3^2) = sqrt(2^2 + 5^2 + 1^2) = sqrt(30)#
#||vec(B)|| = sqrt(B_1^2 + B_2^2 + B_3^2) = sqrt(9^2 + (-3)^2 + 6^2) = sqrt(126)#
#theta# è sconosciuto
Collega tutto alla formula, otteniamo:
#9 = (sqrt(30))(sqrt(126))cos(theta)#
Risolvere per #theta#:
#cos(theta) = frac(9)((sqrt(30))(sqrt(126))#
#theta = cos^-1(frac(9)((sqrt(30))(sqrt(126))))#
Usando una calcolatrice, otteniamo:
#theta = 81.58# gradi
Guarda il seguente video di ...