Come calcolo l'angolo tra due vettori?

È possibile utilizzare il prodotto punto per risolvere questo problema. Vedere http://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product

Il prodotto punto è un'operazione su due vettori. Esistono due diverse definizioni di prodotto punto. Permettere $\to A = [A_{1}, A_{2}, ..., A_{n}]$ $vec(A)=[A_1,A_2,...,A_n]$ essere un vettore e $\to B = [B_{1}, B_{2}, ..., B_{n}]$ $vec(B)=[B_1,B_2,...,B_n]$ essere un altro vettore, quindi abbiamo 2 formule per il prodotto punto:

1) Definizione algebrica:

$\to A \cdot \to B = n \sum 1 A_{i} B_{i} = A_{1} B_{1} + A_{2} B_{2} + ... + A_{n} B_{n}$ $vec(A) cdot vec(B) = sum_1^n A_i B_i = A_1 B_1 + A_2 B_2 + ... + A_n B_n$

2) Definizione geometrica:

$\to A \cdot \to B = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \to A ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \to B ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ cos (θ)$ $vec(A) cdot vec(B) = ||vec(A)|| ||vec(B)||cos(theta)$

where $θ$ $theta$ è l'angolo tra $\to A$ $vec(A)$ e $\to B$ $vec(B)$ e $∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \to A ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣$ $||vec(A)||$ indica la grandezza di $\to A$ $vec(A)$ e ha la formula:

$∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \to A ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = \sqrt{A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + ... + A_{n}^{2}}$ $||vec(A)|| = sqrt(A_1^2 + A_2^2 + ... + A_n^2)$

Possiamo risolvere molte domande (come l'angolo tra due vettori) combinando le due definizioni:

$n \sum 1 A_{i} B_{i} = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \to A ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \to B ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ cos (θ)$ $sum_1^n A_i B_i = ||vec(A)|| ||vec(B)||cos(theta)$

$A_{1} B_{1} + A_{2} B_{2} + ... + A_{n} B_{n} = (\sqrt{A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + ... + A_{n}^{2}}) (\sqrt{B_{1}^{2} + B_{2}^{2} + ... + B_{n}^{2}}) cos (θ)$ $A_1 B_1 + A_2 B_2 + ... + A_n B_n = (sqrt(A_1^2 + A_2^2 + ... + A_n^2))(sqrt(B_1^2 + B_2^2 + ... + B_n^2))cos(theta)$

Se abbiamo due vettori, allora l'unico sconosciuto è $θ$ $theta$ nell'equazione sopra, e quindi possiamo risolvere $θ$ $theta$ , che è l'angolo tra i due vettori.

esempio:

Q: Dato $\to A = [2, 5, 1]$ $vec(A) = [2, 5, 1]$ , $\to B = [9, - 3, 6]$ $vec(B) = [9, -3, 6]$ , trova l'angolo tra di loro.

A:
Dalla domanda, vediamo che ogni vettore ha tre dimensioni. Dall'alto, la nostra formula diventa:

$A_{1} B_{1} + A_{2} B_{2} + A_{3} B_{3} = (\sqrt{A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + A_{3}^{2}}) (\sqrt{B_{1}^{2} + B_{2}^{2} + B_{3}^{2}}) cos (θ)$ $A_1 B_1 + A_2 B_2 + A_3 B_3 = (sqrt(A_1^2 + A_2^2 + A_3^2))(sqrt(B_1^2 + B_2^2 + B_3^2))cos(theta)$

Lato sinistro:

$A_{1} B_{1} + A_{2} B_{2} + A_{3} B_{3} = (2) (9) + (5) (- 3) + (1) (6) = 9$ $A_1 B_1 + A_2 B_2 + A_3 B_3 = (2)(9) + (5)(-3) + (1)(6) = 9$

Lato destro:

$∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \to A ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = \sqrt{A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + A_{3}^{2}} = \sqrt{2^{2} + 5^{2} + 1^{2}} = \sqrt{30}$ $||vec(A)|| = sqrt(A_1^2 + A_2^2 + A_3^2) = sqrt(2^2 + 5^2 + 1^2) = sqrt(30)$
$∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \to B ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = \sqrt{B_{1}^{2} + B_{2}^{2} + B_{3}^{2}} = \sqrt{9^{2} + {(- 3)}^{2} + 6^{2}} = \sqrt{126}$ $||vec(B)|| = sqrt(B_1^2 + B_2^2 + B_3^2) = sqrt(9^2 + (-3)^2 + 6^2) = sqrt(126)$
$θ$ $theta$ è sconosciuto

Collega tutto alla formula, otteniamo:

$9 = (\sqrt{30}) (\sqrt{126}) cos (θ)$ $9 = (sqrt(30))(sqrt(126))cos(theta)$

Risolvere per $θ$ $theta$ :

$cos (θ) = \frac{9}{(\sqrt{30}) (\sqrt{126})}$ $cos(theta) = frac(9)((sqrt(30))(sqrt(126))$
$θ = {cos}^{- 1} ⎛ ⎜ ⎝ \frac{9}{(\sqrt{30}) (\sqrt{126})} ⎞ ⎟ ⎠$ $theta = cos^-1(frac(9)((sqrt(30))(sqrt(126))))$

Usando una calcolatrice, otteniamo:

$θ = 81.58$ $theta = 81.58$ gradi

Guarda il seguente video di ...

Esempio di angolo tra i vettori

Come calcolo l'angolo tra due vettori?

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