Come dimostrerai che il lavoro svolto nel processo isotermico è sempre maggiore del processo adiabatico?
Presumo che tu intenda per un gas ideale. È molto più difficile per un vero gas ...
Ci concentreremo su reversibile lavoro, perché è il massimo lavoro che si può fare. È l'unico confronto equo, perché esistono infinite combinazioni di percorsi di lavoro irreversibili.
The isotermo e adiabatico equazioni di stato dei gas ideali sono, rispettivamente""^(‡):
PV = "const"
PV^gamma = "const", " "gamma = barC_P/barC_V = (barC_V + R)/(barC_V) = 1 + R/(barC_V)
""^(‡)The full derivation for the PV expressions is shown here!
Per confrontare le quantità di lavoro fotovoltaico, esaminiamo la pendenza, (dP)/(dV) in entrambi gli scenari. Il lavoro reversibile è l'area sotto la curva di un grafico FV, quindi la pendenza più ripida darebbe una quantità minore di lavoro per lo stesso DeltaV.
Dalle forme differenziali:
isotermico:
d(PV) = PdV + VdP = 0
=> color(blue)(barul|stackrel(" ")(" "((delP)/(delV))_T = -P/V" ")|)
Adiabatico:
d(PV^gamma) = P cdot d(V^gamma) + V^gamma dP
= P cdot gammaV^(gamma-1)dV + V^gamma dP = 0
(where we had used the chain rule on the first term to recover dV)
Dividendo attraverso V^gamma dà:
=> gammaP/VdV + dP = 0
=> dP = -gammaP/VdV
Di conseguenza, per un adiabatico processo,
color(blue)(barul|stackrel(" ")(" "((delP)/(delV))_q = -gamma P/V " ")|)
Qui abbiamo un gamma termine che è sempre maggiore di 1.
Questo ci dice che se il gas sta facendo un lavoro isotermico, la pendenza è generalmente meno ripido. Pertanto, il lavoro svolto (l'area sotto la curva FV) è in genere maggiore.
Ecco un grafico di un problema che ho riscontrato a Levine:
Se il gas si sta espandendo, segue la curva verso il basso. Se il gas si sta comprimendo, segue la curva verso l'alto. In entrambi i casi l'area sotto la curva è il lavoro reversibile svolto.