Come posso valutare # int_0 ^ 5 | x-5 | dx # interpretandolo in termini di aree?

#|x-5|# uguale #x-5# if #x-5>0# (vale a dire #x>5#), E #5-x# altrimenti (es #x<5#).

Entrambe le equazioni #x-5# e #5-x# sono linee, quindi il grafico del tuo valore assoluto avrà la forma di una V:
Grafico {| x-5 | [-5.37, 14.63, -1, 9]}
Come puoi vedere, prima dell'ascissa 5 (cioè #x<5#) hai una linea con una pendenza negativa, che è #5-x#e dopo quel valore critico hai una linea inclinata positiva, che è #x-5#.

Se si desidera integrare la funzione nell'intervallo #[0,5]#, devi (come hai detto) calcolare l'area sotto il grafico in detto intervallo.

Se dici "interpretandolo in termini di aree", presumo che non desideri il calcolo esplicito dell'integrale. In tal caso, dalla figura dovrebbe essere chiaro che l'area che stai cercando è quella del triangolo con i vertici #(0,0)#, #(5,0)# e #(0,5)#.

È un triangolo rettangolo con entrambi i cateti lunghi 5, e quindi puoi facilmente trovare l'area, che è #25/2#

Se la mia supposizione era sbagliata e in realtà hai bisogno dell'integrale da fare, ecco i passaggi:

Prima di tutto, osserva che nel tuo intervallo di integrazione (cioè l'intervallo #[0,5]#) #|x-5|=-x+5#e quindi è possibile sostituire l'integrando. Quindi, hai che l'integrale di una somma è la somma degli integrali, e così hai

#int_0^5 -x+5 dx = -int_0^5 x dx + int_0^5 5 =
(-frac{x^2}{2}+ 5x)|_0^5 = -frac{25}{2}+25=frac{25}{2}#