Come scegliere il Bn per il test di confronto dei limiti?
Risposta:
Si noti che #e^{1/n}>1# per tutti i numeri interi #n>0#. Pertanto, ci aspettiamo che #sum_{n=1}^{infty}e^{1/n}/n# divergeranno. Prova a confrontarlo con le serie armoniche divergenti #sum_{n=1}^{infty}1/n# per mostrarlo con il test di confronto dei limiti (quindi utilizzare #b_{n}=1/n#).
Spiegazione:
lasciare #a_{n}=e^{1/n}/n# e #b_{n}=1/n#, notandolo #a_{n} > b_{n} > 0# per tutti i numeri interi #n>0#.
Ora calcola #lim_{n->infty}a_{n}/b_{n}#. Speriamo che sia un numero positivo e non #infty#, che ci permetterà di dirlo #sum_{n=1}^{infty}e^{1/n}/n# diverge dal Limit Comparison Test poiché sappiamo che la serie armonica #sum_{n=1}^{infty}1/n# diverge.
Ma chiaramente #lim_{n->infty}a_{n}/b_{n}=lim_{n->infty}e^{1/n}=1#, un numero positivo (e non #infty#). Abbiamo chiuso.