Come si usa la definizione di continuità e le proprietà dei limiti per mostrare che la funzione #h (t) = (2t-3t ^ 2) / (1 + t ^ 3) # è continua al dato numero a = 1?

Una funzione #f# è continuo al numero #a# se e solo se #lim_(xrarra)f(x) = f(a)#.

(Per essere uguali, entrambi devono esistere.)

Nel problema, dobbiamo dimostrarlo, per #h(t) = (2t-3t^2)/(1+t^3)# otteniamo #lim_(trarr1)h(t) = h(1)#

Gli strumenti con cui dobbiamo lavorare sono le proprietà dei limiti. (Questi sono abbastanza standard, ma se i tuoi differiscono poco, spero che tu possa ancora avere l'idea.

#lim_(trarr1)h(t) = lim_(trarr1)(2t-3t^2)/(1+t^3)#

# =(lim_(trarr1)(2t-3t^2))/(lim_(trarr1)(1+t^3))#

se esistono entrambi i limiti e il limite nel denominatore non lo è #0# dalla proprietà quoziente dei limiti

# =(lim_(trarr1)(2t)-lim_(trarr1)(3t^2))/(lim_(trarr1)(1)+lim_(trarr1)(t^3))#

se esistono tutti i limiti e il denominatore no #0# dalle proprietà somma e differenza dei limiti

# =(2lim_(trarr1)(t)-3lim_(trarr1)(t^2))/(lim_(trarr1)(1)+lim_(trarr1)(t^3))#

se esistono tutti i limiti e il denominatore no #0# dalla costante proprietà multipla dei limiti

# =(2lim_(trarr1)(t)-3(lim_(trarr1)(t))^2)/(lim_(trarr1)(1)+(lim_(trarr1)(t))^3)#

se esistono tutti i limiti e il denominatore no #0# dalla proprietà del potere dei limiti

# = (2(1)-3(1)^2)/((1)+(1)^3)#

Valutando il limite di una costante e il limite della funzione identità. Si noti che i limiti esistono e il denominatore no #0#. Così

#lim_(trarr1)h(t) = (2(1)-3(1)^2)/((1)+(1)^3) = h(1)#

Nota su questo tipo di domanda
Penso che il punto di questo tipo di domanda non sia affatto chiaro agli studenti, a meno che noi (insegnanti) non glielo spieghiamo.

Molti di noi (insegnanti) fanno questo tipo di domande solo poche volte per cercare di aiutare gli studenti a collegare le proprietà nell'elenco delle proprietà dei limiti con il modo in cui valutiamo effettivamente i limiti.

Per gli studenti, la buona notizia è che di solito non chiediamo questo livello di dettaglio più di un paio di volte.

Quindi, il punto di questo tipo di domanda è aiutare gli studenti a capire perché possiamo valutare questo limite semplicemente valutando la funzione.