Come si convertono le coordinate rettangolari in coordinate polari?

Per convertire da polare a rettangolare:

#x=rcos theta #
#y=rsin theta#

Per convertire da rettangolare a polare:

#r^2=x^2+y^2#
#tan theta= y/x#

Ecco da dove provengono queste equazioni:

Fondamentalmente, se ti viene dato un #(r,theta)# -una coordinata polare-, puoi collegare il tuo #r# e #theta# nella tua equazione per #x=rcos theta
# e #y=rsin theta# per ottenere la vostra #(x,y)#.

Lo stesso vale per se ti viene dato un #(x,y)#-una coordinata rettangolare- invece. Puoi risolvere per #r# in #r^2=x^2+y^2# ottenere #r=sqrt(x^2+y^2)# e risolvere per #theta# in #tan theta= y/x# ottenere #theta=arctan (y/x)# (L'arcano è solo marrone chiaro inverso, oppure #tan^-1#). Nota che ci possono essere infinitamente molti coordinate polari significa la stessa cosa. Per esempio, #(5, pi/3)=(5,-5pi/3)=(-5,4pi/3)=(-5,-2pi/3)#... Tuttavia, per convenzione, misuriamo sempre positivamente #theta# IN CONTRASSORNO dall'asse x, anche se nostro #r# è negativo.

Diamo un'occhiata a un paio di esempi.

(1) Converti #(4,2pi/3)# in coordinate cartesiane.

Quindi inseriamo semplicemente il nostro #r=4# e #theta= 2pi/3# fra le

#x=4cos 2pi/3=-2#
#y=4sin 2pi/3=2sqrt3#

La coordinata cartersiana è #(-2,2sqrt3)#

(2) Converti #(1,1)# in coordinate polari. (poiché ci sono molte possibilità di questo, la limitazione qui è quella #r# deve essere positivo e #theta# deve essere compreso tra 0 e #pi#)

Così, #x=1# e #y=1#. Possiamo trovare # r# e #theta# a partire dal:
#r=sqrt(1^2+1^2)=sqrt2#
#theta=arctan (y/x)=arctan(1)=pi/4#

La coordinata polare è #(sqrt2,pi/4)#