Come si trova il tasso istantaneo di cambiamento di una funzione in un punto?

Puoi trovare l'istantaneo tasso di cambiamento di una funzione a un certo punto, trovando la derivata di quella funzione e collegando il #x#-valore del punto.

La velocità di variazione istantanea di una funzione è rappresentata dalla pendenza della linea, indica quanto la funzione sta aumentando o diminuendo #x#i valori cambiano.

Figura 1. Pendenza di una linea

In questa immagine, puoi vedere come la funzione blu può avere la sua velocità istantanea di cambiamento rappresentata da una linea rossa tangente alla curva. Per trovare la pendenza di questa linea, devi prima trovare la derivata della funzione.

Ex: #2x^2+4 , (1,6)#

credito: www.wolframalpha.com

Usando la regola del potere per i derivati, finiamo con #4x# come derivato. Collegare il nostro punto #x#-valore, abbiamo:

#4(1) = 4#

Questo ci dice che la pendenza della nostra funzione originale a #(1,6)# is #4#, che rappresenta anche il tasso di variazione istantaneo in quel punto.

Se volessimo anche trovare l'equazione della linea tangente alla curva nel punto, necessaria per alcune applicazioni di derivati, possiamo usare la forma punto-pendenza:

#y-y_1=m(x-x_1)#

con i #m# = pendenza della linea.

Collegare il nostro #x#,#y#e il valore della pendenza, abbiamo:

#y-6=4(x-1)#

Il che semplifica

#y=4x+2#

I problemi che coinvolgono il "tasso di variazione istantaneo" di una funzione richiedono l'utilizzo del derivato, sebbene possa essere mascherato in un modo che potrebbe non essere familiare, come la velocità di un oggetto dopo un certo periodo di tempo. La pratica di simili problemi di cambiamento ti aiuterà a farti un'idea degli usi pratici dei derivati.