Come stimare il tasso di variazione istantaneo in un punto?
Per una stima dell'istantaneo tasso di cambiamento di una funzione in un punto, traccia una linea tra due punti ("punti di riferimento") molto vicini al punto desiderato e determina la pendenza di quella linea. È possibile migliorare l'accuratezza della stima scegliendo punti di riferimento più vicini al punto desiderato.
Osservazioni In questa spiegazione, suppongo che il lettore sia a conoscenza e abbia familiarità con il concetto di calcolo di limiti. Per coloro che non lo sono, di seguito è riportato un collegamento a un sito Web con quella che considero una buona spiegazione del concetto.
http://www.mathsisfun.com/calculus/limits.html
Inoltre, ecco un video che ho realizzato diversi anni fa che cerca di fornire una spiegazione chiara e concisa di limiti e derivati in termini di profani. C'è un breve picco di volume al secondo segno 0:05 che potrebbe sorprendere gli spettatori.
Se preferisci una spiegazione scritta, sentiti libero di leggere.
Nota finale
Quando si guarda un grafico di una funzione #f(x)#, è possibile rappresentare graficamente la velocità di variazione in un determinato intervallo di #x#. Ad esempio, se dichiaro di aver percorso una distanza di 3 miglia nel corso di 30 minuti, poiché conosciamo il mio velocità media sarà uguale alla mia distanza percorsa divisa per il tempo impiegato, calcoliamo che la mia velocità media è di 0.1 miglia al minuto, o 6 miglia all'ora. In questo caso abbiamo usato la formula
#v_[a,b] = [(f(b)-f(a))/(b-a)]#
per calcolare la velocità media #v# della mia funzione di distanza con #a=0, f(a) = 0, b=30, f(b)=3.#
Su un grafico matematico, se la mia distanza in funzione del tempo fosse una curva, questo valore sarebbe la pendenza di a linea secante che interseca la curva nei nostri due punti di riferimento (la mia distanza iniziale di 0 a 0 minuti e quella finale di 3 miglia a 30 minuti). Se la mia velocità effettiva era costante a 0.1 miglia al minuto per tutta la corsa, questa linea di sicurezza è identica alla mia funzione di distanza.
Tuttavia, se la mia velocità fluttuasse del tutto, allora la distanza sarà una curva rispetto a una linea e la secante non sarà identica alla mia funzione di distanza, sebbene almeno si intersecherà ancora nei miei due punti di riferimento (l'inizio e fine della mia corsa in questo caso). In questo caso, posso avere un'idea migliore della mia esatta velocità in quel punto, scegliendo una linea di sicurezza con punti di riferimento più vicini al mio punto target.
Come esercizio, supponiamo che io ti dica che il tasso istantaneo di cambiamento della funzione #f(x) = x^3 -1# al punto #x=2# è 12. È possibile stimarlo utilizzando intervalli di dimensioni diverse. In questo caso, prova prima l'intervallo #[-1,5]# seguito dall'intervallo #[0,4]# e poi l'intervallo #[1,3]#. Dovresti notare che man mano che il tuo intervallo diminuisce, la tua stima si avvicina al valore effettivo di 12!
citazioni:
Pierce, Rod. "Limits (An Introduction)" Math Is Fun. Ed. Rod Pierce. 13 gennaio 2014. 11 agosto 2014 http://www.mathsisfun.com/calculus/limits.html