Come si trova il volume del solido ottenuto ruotando la regione delimitata dalle curve date attorno all'asse specificato y = x ^ 2, y = 1, circa y = 2?

Innanzitutto troviamo il volume dell'area A + B e quindi sottraggiamo il volume dell'area B per darci il volume dell'area A:

Volume A + B:

Dal diagramma si può vedere che il raggio cd del volume A + B è #2-x^2# quindi l'integrale sarà:

#V=pi*int_(-1)^(1)(2-x^2)^2 dx#

#(2-x^2)^2=4-4x^2+x^4#

#V=pi*int_(-1)^(1)(4-4x^2+x^4) dx=[4x-4/3x^3+1/5x^5]_(-1)^(1)#

#[4x-4/3x^3+1/5x^5]^(1)-[4x-4/3x^3+1/5x^5]_(-1)#

Inserimento dei limiti superiore e inferiore:

#V=pi*[4(1)-4/3(1)^3+1/5(1)^5]^(1)-[4(-1)-4/3(-1)^3+1/5(-1)^5]_(-1)#

#V=pi*[4-4/3+1/5]^(1)-[-4+4/3-1/5]_(-1)#

#V=pi*[43/15]^(1)-[-43/15]_(-1)=86/15pi#

Volume di B:

Questo produce un cilindro di raggio ab= 1 e lunghezza (questa è la lunghezza dell'intervallo #[ -1 , 1 ]# che è 2:

#V=pi(1)^2(2)=2pi#

Volume di A = volume (A + B) - volumeB =#(86pi)/15-2pi=color(blue)((56pi)/15)# unità al cubo.

Volume di A: