Come si trova la pendenza di una curva polare?
Risposta:
If #r=f(theta)# è la curva polare, quindi la pendenza in un dato punto su questa curva con particolari coordinate polari #(r,theta)# is #(f'(theta)sin(theta)+f(theta)cos(theta))/(f'(theta)cos(theta)-f(theta)sin(theta))#
Spiegazione:
If #r=f(theta)#, poi #x=r cos(theta)=f(theta)cos(theta)# e #y=r sin(theta)=f(theta)sin(theta)#. Ciò implica, dal Regola del prodotto, quella #dx/(d theta)=f'(theta)cos(theta)-f(theta)sin(theta)# e #dy/(d theta)=f'(theta)sin(theta)+f(theta)cos(theta)#.
Quindi #mbox{slope}=dy/dx=(dy/(d theta))/(dx/(d theta))=(f'(theta)sin(theta)+f(theta)cos(theta))/(f'(theta)cos(theta)-f(theta)sin(theta))#
Ho provato questo con la curva polare #r=f(theta)=theta#, che ha dato #dy/dx=(sin(theta)+theta cos(theta))/(cos(theta)-theta sin(theta))# e, nel punto con coordinate polari #(r,theta)=(f(theta),theta)=(f((5pi)/6),(5pi)/6)=((5pi)/6,(5pi)/6) approx (2.62,2.62)# (e coordinate rettangolari #(x,y) approx (-2.28,1.31)#)
#dy/dx=(sin((5pi)/6)+(5pi)/6 * cos((5pi)/6))/(cos((5pi)/6)-(5pi)/6 * sin((5pi)/6))=(1/2 + (5pi)/6 * (-sqrt(3)/2) )/(-sqrt(3)/2 -(5pi)/6 * 1/2) approx 0.81252#. Ho rappresentato graficamente la curva polare insieme alla sua tangente a questo punto e ho ottenuto la seguente immagine. Sembra buona.
