Come si trova l'area della regione delimitata dalla curva polare # r ^ 2 = 4cos (2theta) #?

La prima cosa da ricordare che un integrale è un modo per sommare un numero infinito di aree. Per coordinate rettangolari (#y=f(x)#), queste aree sono sempre rettangoli.

#int_a^bf(x)dx#

significa letteralmente "troviamo l'area di un numero infinito di rettangoli tra #x=a# e #x=b#, Dove #f(x)# è uguale all'altezza di ciascun rettangolo.

Le coordinate polari, sebbene sembri più complicate, seguono lo stesso schema generale. La grande differenza è che non abbiamo a che fare con i rettangoli. Abbiamo a che fare con settori di un cerchio. Conosciuto anche come fette di pizza.

L'area di una singola fetta di pizza di un cerchio è #A=1/2r^2theta#

(ricorda che questa formula area specifica funziona solo se #theta# è in radianti!)

Quindi l'area di un numero infinito di "fette di pizza" è

#1/2int_a^br^2d theta#

che significa letteralmente "troviamo l'area di un numero infinito di fette di pizza tra #theta=#angolo #a# e #theta=# angolo #b# where r è uguale al raggio di ogni fetta di pizza.

Ora per il tuo problema specifico, sostituiamo #4cos(2theta)# for #r^2#.

#1/2int_a^br^2d theta = 1/2int_a^b4cos(2theta)d theta#

Ora dobbiamo determinare un adatto #a# e #b#.

Per prima cosa ricordiamo che aspetto ha un lemniscato.

The #2theta# rende questo un po 'complicato. Fondamentalmente, questo grafico polare attraversa il suo ciclo due volte più veloce. Ciò significa quando #theta=pi/4#, #cos(2theta)# si sta comportando come se #theta=pi/2#. Ecco perché il raggio si riduce a zero a #theta=pi/4#. Perché #cos(2pi/4)=cos(pi/2)=0#.

Sembra che la cosa più semplice da fare sia allontanare il nostro angolo #theta=-pi/4# a #theta = pi/4#, che ci darà la metà giusta del lemniscato. Quindi dobbiamo solo raddoppiare la nostra risposta per trovare l'intera area delimitata dal lemniscato.

Così...

#A=2int_(-pi/4)^(pi/4)4cos(2theta)d theta#

#A=2(1/2)int_(-pi/4)^(pi/4)4cos(2theta)2d theta#

#A=int_(-pi/4)^(pi/4)4cos(2theta)2d theta#

#A=4sin(2theta)|_(-pi/4)^(pi/4)=4sin(2pi/4)-2sin(2(-pi/4))#

#A=4sin(pi/2)-4sin(-pi/2)=4(1)-4(-1)=8#