Come si trova un limite unilaterale per una funzione di valore assoluto?

Quando si hanno a che fare con limiti unilaterali che implicano il valore assoluto di qualcosa, la chiave è ricordare che la funzione del valore assoluto è davvero una funzione saggiamente sotto mentite spoglie. Per esempio, #|x|# può essere suddiviso in questo:

#|x|=#
#x#, when #x≥0#
-#x#, when #x<0#

Puoi vedere che indipendentemente dal valore di x scelto, restituirà sempre un numero non negativo, che è l'uso principale della funzione di valore assoluto. Ciò significa che per valutare un limite unilaterale, dobbiamo capire quale versione di questa funzione è appropriata per la nostra domanda.

Se il limite che stiamo cercando di trovare si sta avvicinando dal lato negativo, dobbiamo trovare la versione della funzione di valore assoluto che contiene valori negativi attorno a quel punto, ad esempio:

#lim_(x->-2^-) |2x+4|#

Se dovessimo suddividere questa funzione nella sua forma a pezzi, avremmo:

#|2x+4| = #
#2x+4#, when #x>=-2#
#-(2x+4)#, when #x<-2#

#-2# è usato per verificare il valore di #x# perché questo è il valore in cui la funzione passa da positivo a negativo. Qualsiasi numero sopra #-2# restituirà un numero positivo e qualsiasi numero in basso sarebbe negativo, quindi è necessario scambiare il suo segno per restituire sempre un numero non negativo.

Se ora sostituiamo la funzione valore assoluto nel nostro problema limite con la versione corretta, avremmo:

#lim_(x->-2^-) -(2x+4) = lim_(x->-2^-) -2x-4#

sostituendo #x=-2#, noi abbiamo:

#lim_(x->-2^-) -2x-4##=-2(-2)-4 #

#= 4-4 = 0#

Si noti che se un numero oltre #-2# è stato utilizzato per il limite, ad esempio:

#lim_(x->3^+) |2x+4|#

Verificheremo comunque la funzione saggia per vederlo #3 > -2#, ma non devi preoccuparti che il limite sia unilaterale. Questo perché l'aspetto unilaterale di un limite per le funzioni a livello di pezzo diventa importante solo attorno ai valori in cui cambierà segni o funzioni (#x=-2# nel nostro caso).