Come si usa il teorema binomiale per espandere # (x + y) ^ 5 #?

Il teorema binomiale ci dice che se abbiamo un binomio (a + b) sollevato
al #n^(th)# potenza il risultato sarà

#(a+b)^n=sum_(k=0)^nc_k^n *a^(n-k)*b^(n)#

where #" "c _k^n= (n!)/(k!(n-k)!)#

e viene letto "n SCEGLI k equivale a n fattoriale diviso per k fattoriale (nk) fattoriale".

So #(a+b)^5=a^5+5.a^4.b+10.a^3.b^2+10.a^2.b^3+5.a^1.b^4+b^5#

notiamo che i poteri di "a" continua a diminuire da 5 (che rappresenta 'n') fino a quando non raggiunge #a^("zero")# all'ultimo termine.

anche notiamo che il potere di "b" continua ad aumentare da zero fino a quando non raggiunge 5 all'ultimo termine.

Ora dobbiamo determinare il coefficiente di ciascun termine attraverso il ...

#c_k^n= (n!)/(k!(n-k)!)#

primo coefficiente #c_0^5=(5!)/(0! .5!)=1#

secondo #c_1^5=(5!)/(1! .4!)=5#

#c_2^5=(5!)/(2! .3!)=10#

#c_3^5=(5!)/(3! .2!)=10#

#c_4^5=(5!)/(4! .1!)=5#

#c_5^5=(5!)/(5!.0!)=1#

ma il calcolo delle combinazioni può essere noioso..per fortuna
c'è un modo fantastico per determinare i coefficienti binomiali che è Triangolo di Pascal

è facile dedurre questo triangolo:

spero che sia d'aiuto ! 🙂