Come trovare il volume del parallelepipedo con bordi adiacenti pq, pr e ps dove p (3,0,1), q (-1,2,5), r (5,1, -1) e s ( 0,4,2)?

La risposta è: #V=16#.

Dati tre vettori, esiste un prodotto, chiamato prodotto triplo scalare, che fornisce (il valore assoluto di esso), il volume del parallelepipedo che ha i tre vettori come dimensioni.

Così:

#vec(PQ)=(3+1,0-2,1-5)=(4,-2,-4)#

#vec(PR)=(3-5,0-1,1+1)=(-2,-1,2)#

#vec(PS)=(3-0,0-4,1-2)=(3,-4,-1)#

Il triplo prodotto scalare è dato dal determinante della matrice #(3xx3)# che ha nelle file i tre componenti dei tre vettori:

#|+4 -2 -4|#
#|-2 -1 +2|#
#|+3 -4 -1|#

e il derminante è dato ad esempio con la regola di Laplace (scegliendo la prima riga):

#4*[(-1)(-1)-(2)(-4)]-(-2)[(-2)(-1)-(2)*(3)+(-4)[(-2)(-4)-(-1)(3)]=#.

#=4(1+8)+2(2-6)-4(8+3)=36-8-44=-16#

Quindi il volume è: #V= |-16|=16#