Come trovare le equazioni di entrambe le linee attraverso il punto (2, -3) che sono tangenti alla parabola y = x ^ 2 + x y=x2+x?
Risposta:
Le equazioni delle tangenti che attraversano (2,-3)(2,−3) siamo:
y=-x-1 y=−x−1 e
y = 11x-25y=11x−25
Spiegazione:
Il gradiente della tangente a una curva in un determinato punto è dato dalla derivata della curva in quel punto. Quindi per la nostra curva (la parabola) abbiamo
y=x^2+x y=x2+x
Wrt differenziante xx noi abbiamo:
dy/dx=2x+1 dydx=2x+1
lasciare P(alpha,beta)P(α,β) essere qualsiasi punto generico sulla curva. Quindi il gradiente della tangente in P è dato da:
m = 2alpha + 1 m=2α+1 (using the derivative)
E poiché P si trova sulla curva, abbiamo anche:
beta = alpha^2+alpha β=α2+α (using the curve equation)
E così la tangente a PP attraversa (alpha,alpha^2+alpha)(α,α2+α) e ha gradiente 2alpha + 12α+1, quindi utilizzando la forma punto / pendenza y−y_1=m(x−x_1)y−y1=m(x−x1) l'equazione della tangente in PP è;
y - (alpha^2+alpha) = (2alpha+1)(x-alpha)y−(α2+α)=(2α+1)(x−α)
se passa anche questa tangente (2,-3)(2,−3) poi;
-3 - (alpha^2+alpha) = (2alpha+1)(2-alpha)−3−(α2+α)=(2α+1)(2−α)
:. -3 - alpha^2-alpha = 3alpha-2alpha^2+2
:. alpha^2 -4alpha-5=0
:. (alpha-5)(alpha+1)=0
:. alpha =-1,5
If alpha =-1 => beta = 0 e l'equazione tangente diventa:
y - 0 = (-1)(x+1)
:. y=-x-1
If alpha =5 => beta = 30e l'equazione tangente diventa:
y - 30 = (11)(x-5)
:. y - 30 = 11x-55
:. y = 11x-25
Da qui le equazioni delle tangenti che attraversano (2,-3) impianti completi per la produzione di prodotti da forno
y=-x-1 e y = 11x-25
Possiamo confermarlo graficamente:
