Come trovare le equazioni di entrambe le linee attraverso il punto (2, -3) che sono tangenti alla parabola # y = x ^ 2 + x #?

Il gradiente della tangente a una curva in un determinato punto è dato dalla derivata della curva in quel punto. Quindi per la nostra curva (la parabola) abbiamo

# y=x^2+x #

Wrt differenziante #x# noi abbiamo:

# dy/dx=2x+1 #

lasciare #P(alpha,beta)# essere qualsiasi punto generico sulla curva. Quindi il gradiente della tangente in P è dato da:

# m = 2alpha + 1 # (using the derivative)

E poiché P si trova sulla curva, abbiamo anche:

# beta = alpha^2+alpha # (using the curve equation)

E così la tangente a #P# attraversa #(alpha,alpha^2+alpha)# e ha gradiente #2alpha + 1#, quindi utilizzando la forma punto / pendenza #y−y_1=m(x−x_1)# l'equazione della tangente in #P# è;

#y - (alpha^2+alpha) = (2alpha+1)(x-alpha)#

se passa anche questa tangente #(2,-3)# poi;

# -3 - (alpha^2+alpha) = (2alpha+1)(2-alpha)#
# :. -3 - alpha^2-alpha = 3alpha-2alpha^2+2#
# :. alpha^2 -4alpha-5=0#
# :. (alpha-5)(alpha+1)=0#
# :. alpha =-1,5#

If #alpha =-1 => beta = 0 #e l'equazione tangente diventa:

#y - 0 = (-1)(x+1)#
# :. y=-x-1 #

If #alpha =5 => beta = 30#e l'equazione tangente diventa:

# y - 30 = (11)(x-5)#
# :. y - 30 = 11x-55#
# :. y = 11x-25#

Da qui le equazioni delle tangenti che attraversano #(2,-3)# impianti completi per la produzione di prodotti da forno
# y=-x-1 # e #y = 11x-25#

Possiamo confermarlo graficamente: