Come trovi i due numeri reali positivi la cui somma è 40 e il cui prodotto è un massimo?
Risposta:
Devi prima trovare una funzione per rappresentare il problema dichiarato, quindi trovare un massimo di quella funzione
Spiegazione:
Il problema afferma che stiamo cercando due numeri #x# e #y# ad esempio #x+y=40#, questo è
#y=40-x#
Vorremmo trovare dove il prodotto #x*y# è massimo, ma dall'equazione sopra possiamo scrivere:
#x*y=x*(40-x) = -x^2+40x#.
Quindi ora abbiamo una funzione a una variabile #f(x)=-x^2+40x#e deve trovare un valore positivo di #x# dove la funzione #f# raggiunge un massimo.
Per fare ciò calcoliamo la derivata #f'(x)=-2x+40#e cerchiamo valori di #x# where #f'(x)=-2x+40=0#. C'è solo uno di questi valori (punto critico) con #x=20#.
Ora il secondo derivato #f''(x)=-2# è negativo ovunque, e quindi è negativo nel punto critico #x=20#. Quindi, #x=20# è un massimo per #f#.
Ma lo sappiamo anche noi #y=40-x#, quindi il valore di #y# è altresì #20#.
La soluzione è quindi #x=20, y=20#