Trova due numeri positivi che soddisfano i requisiti indicati. La somma del primo numero al quadrato e del secondo numero è 60 e il prodotto è un massimo?
Risposta:
I numeri sono #40# e #2sqrt(5)#. So che questi non sono numeri interi (e #sqrt(5)# non è un numero razionale), ma questa è la soluzione più logica a questo problema.
Spiegazione:
Lascia che i numeri siano #x# e #y#.
#x^2 + y = 60 -> y = 60 - x^2#
Il prodotto sarà #P = xy#. Sostituendo dalla prima equazione, otteniamo:
#P = (60 - x^2)x#
#P = -x^3 + 60x#
Ora troviamo il derivato rispetto a #x#.
#P' = -3x^2 + 60#
Ora determina i numeri critici, che si verificheranno quando #P' = 0#.
#0 = -3x^2 + 60#
#0 = -3(x^2 - 20)#
#x = +- sqrt(20)#
#x= +- 2sqrt(5)#
Dobbiamo controllare per essere sicuri #x = + 2sqrt(5)# è davvero un massimo.
Punto di test #1#: #x = 4#
#P'(4) = -3(4)^2 + 60 = "positive"#
Punto di test #2#:#x = 5#
#P'(5) = -3(5)^2 + 60 = "negative"#
Aumentando / diminuendo le regole, possiamo concludere che #2sqrt(5)# è un massimo locale (questa funzione non ha un massimo assoluto).
Ciò significa che #y = 60 - (2sqrt(5))^2 = 40#.
Speriamo che questo aiuti!