Come trovi i prossimi tre termini in 2,5,10,17,26, ....?

Per trovare un modello in questa sequenza, prima scrivi la sequenza originale:

(i) #color(blue)(2),5,10,17,26#

Quindi scrivi la sequenza delle differenze tra i termini successivi di quella sequenza:

(ii) #color(blue)(3),5,7,9#

Quindi scrivi la sequenza delle differenze di quella sequenza:

(iii) #color(blue)(2),2,2#

Avendo raggiunto una sequenza costante, ci sono un paio di cose che possiamo fare:

(1) Possiamo trovare i prossimi tre elementi della sequenza originale come richiesto.

Per fare questo, aggiungine altri tre #2#è all'ultima sequenza:

#color(blue)(2),2,2,color(red)(2),color(red)(2),color(red)(2)#

Quindi aggiungi altri tre termini alla sequenza precedente usando i tre nuovi elementi di questa sequenza come differenze:

#color(blue)(3),5,7,9,color(red)(11),color(red)(13),color(red)(15)#

Quindi aggiungi altri tre termini alla sequenza originale usando i tre nuovi elementi di questa sequenza come differenze:

#color(blue)(2),5,10,17,26,color(red)(37),color(red)(50),color(red)(65)#

(2) Possiamo trovare una formula generale per allora #n#termine #a_n# della sequenza usando i termini iniziali #color(blue)(2)#, #color(blue)(3)#, #color(blue)(2)# delle sequenze (i), (ii) e (iii) come coefficienti:

#a_n = color(blue)(2)/(0!) + color(blue)(3)/(1!) (n-1) + color(blue)(2)/(2!) (n-1)(n-2)#

#=2+3n-3+n^2-3n+2 = n^2+1#