Come trovi i prossimi tre termini in 2,5,10,17,26, ....?

Risposta:

Esamina la sequenza di differenze di questa sequenza e la sua sequenza di differenze per trovare i prossimi tre termini, $37, 50, 65$ $37, 50, 65$ e la formula generale $a_{n} = n^{2} + 1$ $a_n = n^2+1$

Spiegazione:

Per trovare un modello in questa sequenza, prima scrivi la sequenza originale:

(i) $2, 5, 10, 17, 26$ $color(blue)(2),5,10,17,26$

Quindi scrivi la sequenza delle differenze tra i termini successivi di quella sequenza:

(ii) $3, 5, 7, 9$ $color(blue)(3),5,7,9$

Quindi scrivi la sequenza delle differenze di quella sequenza:

(iii) $2, 2, 2$ $color(blue)(2),2,2$

Avendo raggiunto una sequenza costante, ci sono un paio di cose che possiamo fare:

(1) Possiamo trovare i prossimi tre elementi della sequenza originale come richiesto.

Per fare questo, aggiungine altri tre $2$ $2$ è all'ultima sequenza:

$2, 2, 2, 2, 2, 2$ $color(blue)(2),2,2,color(red)(2),color(red)(2),color(red)(2)$

Quindi aggiungi altri tre termini alla sequenza precedente usando i tre nuovi elementi di questa sequenza come differenze:

$3, 5, 7, 9, 11, 13, 15$ $color(blue)(3),5,7,9,color(red)(11),color(red)(13),color(red)(15)$

Quindi aggiungi altri tre termini alla sequenza originale usando i tre nuovi elementi di questa sequenza come differenze:

$2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65$ $color(blue)(2),5,10,17,26,color(red)(37),color(red)(50),color(red)(65)$

(2) Possiamo trovare una formula generale per allora $n$ $n$ termine $a_{n}$ $a_n$ della sequenza usando i termini iniziali $2$ $color(blue)(2)$ , $3$ $color(blue)(3)$ , $2$ $color(blue)(2)$ delle sequenze (i), (ii) e (iii) come coefficienti:

$a_{n} = \frac{2}{0!} + \frac{3}{1!} (n - 1) + \frac{2}{2!} (n - 1) (n - 2)$ $a_n = color(blue)(2)/(0!) + color(blue)(3)/(1!) (n-1) + color(blue)(2)/(2!) (n-1)(n-2)$

$= 2 + 3 n - 3 + n^{2} - 3 n + 2 = n^{2} + 1$ $=2+3n-3+n^2-3n+2 = n^2+1$

Come trovi i prossimi tre termini in 2,5,10,17,26, ....?

Risposta:

Spiegazione:

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