Come trovi la lunghezza della curva # y = sqrt (xx ^ 2) + arcsin (sqrt (x)) #?

La lunghezza dell'arco di una curva continua da #a# a #b# è dato da #int_a^b sqrt(1+ (dy/dx)^2)#. Cominciamo calcolando la derivata.

#y' = (1 - 2x)/(2sqrt(x - x^2)) + 1/(2sqrt(x - x^2)#

#y' = (1 - 2x + 1)/(2sqrt(x- x^2))#

#y' = (2 - 2x)/(2sqrt(x - x^2)#

#y' = (2(1 - x))/(2sqrt(x - x^2)#

#y' = (1 - x)/sqrt(x(1 - x))#

Ora troviamo gli endpoint della funzione #y#. La funzione #y = arcsinx# ha dominio #{x|-1 ≤ x ≤ 1, x in RR}#. Tuttavia, poiché il valore sotto la radice quadrata deve essere positivo, #y = arcsinsqrt(x)# ha dominio #{x| 0 ≤ x ≤ 1, x in RR}#.

La seconda parte della funzione, #y = sqrt(x - x^2)#, ha lo stesso dominio di #y = arcsinsqrt(x)#. Quindi, possiamo concludere che i nostri limiti di integrazione verranno #0# a #1#. Chiama la lunghezza dell'arco #A#.

#A = int_0^1 sqrt(1 + ((1 - x)/sqrt(x(1 - x)))^2)dx#

#A = int_0^1 sqrt(1 + (1 - x)^2/(x(1 - x)))dx#

#A = int_0^1 sqrt(1 + (1 - x)/x) dx#

#A = int_0^1 sqrt(1 + 1/x - x/x)dx#

#A = int_0^1 sqrt(1 + 1/x - 1)dx#

#A = int_0^1 sqrt(x^-1)#

#A = int_0^1 (x^-1)^(1/2)#

#A = int_0^1 x^(-1/2)#

#A = [2x^(1/2)]_0^1#

#A = 2(1)^(1/2) - 2(0)^(1/2)#

#A = 2#

Speriamo che questo aiuti!