Come trovi la lunghezza della curva # x = 3t-t ^ 3 #, # y = 3t ^ 2 #, dove # 0 <= t <= sqrt (3) #?

Risposta:

#6sqrt3#.

Spiegazione:

La risposta è #6sqrt3#.

La lunghezza di una curva parametrica può essere trovata usando la formula: #L=int_(t_i)^(t_f)sqrt(((dx)/(dt))^2+((dy)/(dt))^2)dt#. Da #x# e #y# sono perpendicolari, non è difficile capire perché questo calcola la lunghezza dell'arteria.

Non è molto diverso dalla lunghezza di una normale funzione: #L=int_a^b sqrt(1+((dy)/(dx))^2)dx#. Se hai bisogno della derivazione della formula parametrica, chiedila come domanda separata.

Troviamo i 2 derivati:
#(dx)/(dt)=3-3t^2#
#(dy)/(dt)=6t#

E li sostituiamo nell'integrale:
#L=int_0^(sqrt3)sqrt((3-3t^2)^2+(6t)^2)dt#

E risolvi:
#=int_0^(sqrt3)sqrt(9-18t^2+9t^4+36t^2)dt#
#=int_0^(sqrt3)sqrt(9+18t^2+9t^4)dt#
#=int_0^(sqrt3)sqrt((3+3t^2)^2)dt#
#=int_0^(sqrt3)(3+3t^2)dt#
#=3t+t^3|_0^(sqrt3)#
#=3sqrt3+3sqrt3#
#=6sqrt3#

Essere consapevoli del fatto che l'arclength di solito ha una funzione difficile da integrare. La maggior parte delle funzioni integrabili è simile alla precedente in cui un binomio è quadrato e l'aggiunta dei due termini farà girare il segno del binomio.

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