Come trovi la radice quadrata di 2000?

If #a, b >= 0# poi #sqrt(ab) = sqrt(a)sqrt(b)#

Così:

#sqrt(2000) = sqrt(400*5) = sqrt(400)*sqrt(5) = 20sqrt(5)#

Dal #5 = 2^2+1# è nella forma #n^2+1#, #sqrt(5)# ha una semplice espansione come frazione continua:

#sqrt(5) = [2;bar(4)] = 2 + 1/(4+1/(4+1/(4+1/(4+...))))#

In base a quanto un'approssimazione desideriamo, possiamo terminare questa frazione continua a più o meno termini.

Per esempio:

#sqrt(5) ~~ [2;4,4] = 2+1/(4+1/4) = 2 + 4/17 = 38/17#

Così:

#sqrt(2000) = 20 sqrt(5) ~~ 20*38/17 ~~ 44.71#

In realtà:

#sqrt(2000) ~~ 44.72135954999579392818#

Come altro modo per calcolare le approssimazioni successive fornite dalla frazione continua, considerare la sequenza:

#0, 1, 4, 17, 72, 305,...#

where #a_1 = 0#, #a_2 = 1#, #a_(i+2) = a_i + 4a_(i+1)#

Questo è simile alla sequenza di Fibonacci, tranne che per la regola #a_(i+2) = a_i + bb(4)a_(i+1)# invece di #a_(i+2) = a_i + a_(i+1)#.

Questo è fortemente correlato alla frazione continua:

#[4;bar(4)] = 4+1/(4+1/(4+1/(4+1/(4+...))))#

Il rapporto tra termini successivi della sequenza tende a #2+sqrt(5)# (leggermente più veloce della sequenza di Fibonacci #1/2+sqrt(5)/2#)

Ad esempio, possiamo trovare un'approssimazione per #sqrt(5)# in:

#305/72 - 2 = 161/72#

Quindi #sqrt(2000) ~~ 20*161/72 = 3220/72 = 44.7dot(2)#