Come trovi la radice quadrata di 23?

#23# è un numero primo, quindi non è possibile semplificare la sua radice quadrata, che è un numero irrazionale un po 'meno di #5 = sqrt(25)#

Come tale non è espressibile nella forma #p/q# per numeri interi #p, q#.

Possiamo trovare razionale approssimazioni come segue:

#23 = 5^2-2#

è nella forma #n^2-2#

La radice quadrata di un numero del modulo #n^2-2# può essere espresso come una frazione continua del modulo standard:

#sqrt(n^2-2) = [(n-1); bar(1, (n-2), 1, (2n-2))]#

Nel nostro esempio #n=5# e troviamo:

#sqrt(23) = [4; bar(1,3,1,8)] = 4+1/(1+1/(3+1/(1+1/(8+1/(1+1/(3+1/(1+...)))))))#

Per usare questo per derivare una buona approssimazione per #sqrt(23)# terminarlo presto, poco prima di uno dei #8#'S. Per esempio:

#sqrt(23) ~~ [4;1,3,1,8,1,3,1] = 4+1/(1+1/(3+1/(1+1/(8+1/(1+1/(3+1/1)))))) = 1151/240 = 4.7958bar(3)#

Con una calcolatrice troviamo:

#sqrt(23) ~~ 4.79583152#

Quindi la nostra approssimazione non è male.