Come trovi la radice quadrata di 7?

Dal #7# è un numero primo, non ha fattori quadrati e la sua radice quadrata non può essere semplificata.

È un numero irrazionale, quindi non può essere rappresentato esattamente da #p/q# per qualsiasi numero intero #p, q#.

Possiamo tuttavia trovare un buon razionale approssimazioni a #sqrt(7)#.

Prima nota che:

#8^2 = 64 = 63+1 = 7*3^2 + 1#

Questo è nella forma di equazione di Pell:

#p^2 = n q^2 + 1#

con i #n = 7#, #p = 8# e #q = 3#.

Ciò significa che #8/3# è un'approssimazione economica per #sqrt(7)# e significa anche che possiamo usare #8/3# per derivare la continua espansione della frazione di #sqrt(7)#:

#8/3 = 2 + 1/(1+1/(1+1/1))#

e quindi possiamo dedurre:

#sqrt(7) = [2;bar(1,1,1,4)] = 2 + 1/(1+1/(1+1/(1+1/(4+1/(1+1/(1+1/(1+1/(4+...))))))))#

La prossima approssimazione economica è data troncando l'espansione continua della frazione appena prima della successiva #4#, Cioè

#sqrt(7) ~~ [2;1,1,1,4,1,1,1] = 2 + 1/(1+1/(1+1/(1+1/(4+1/(1+1/(1+1/1)))))) = 127/48 = 2.6458bar(3)#

Questa è anche una soluzione dell'equazione di Pell per #7#, poiché troviamo:

#127^2 = 16129 = 16128+1 = 7*48^2+1#

Se si desidera maggiore precisione, troncare subito prima del successivo #4# o quello dopo.

Espandendo la parte ripetuta della frazione continua per #sqrt(7)# possiamo derivare una frazione continua generalizzata:

#sqrt(7) = 21/8+(7/64)/(21/4+(7/64)/(21/4+(7/64)/(21/4+(7/64)/(21/4+...))))#

Usando una calcolatrice, troviamo:

#sqrt(7) ~~ 2.645751311#