Come trovi la radice quadrata di 7?
Risposta:
sqrt(7) ~~ 2.645751311
Spiegazione:
Dal 7 è un numero primo, non ha fattori quadrati e la sua radice quadrata non può essere semplificata.
È un numero irrazionale, quindi non può essere rappresentato esattamente da p/q per qualsiasi numero intero p, q.
Possiamo tuttavia trovare un buon razionale approssimazioni a sqrt(7).
Prima nota che:
8^2 = 64 = 63+1 = 7*3^2 + 1
Questo è nella forma di equazione di Pell:
p^2 = n q^2 + 1
con i n = 7, p = 8 e q = 3.
Ciò significa che 8/3 è un'approssimazione economica per sqrt(7) e significa anche che possiamo usare 8/3 per derivare la continua espansione della frazione di sqrt(7):
8/3 = 2 + 1/(1+1/(1+1/1))
e quindi possiamo dedurre:
sqrt(7) = [2;bar(1,1,1,4)] = 2 + 1/(1+1/(1+1/(1+1/(4+1/(1+1/(1+1/(1+1/(4+...))))))))
La prossima approssimazione economica è data troncando l'espansione continua della frazione appena prima della successiva 4, Cioè
sqrt(7) ~~ [2;1,1,1,4,1,1,1] = 2 + 1/(1+1/(1+1/(1+1/(4+1/(1+1/(1+1/1)))))) = 127/48 = 2.6458bar(3)
Questa è anche una soluzione dell'equazione di Pell per 7, poiché troviamo:
127^2 = 16129 = 16128+1 = 7*48^2+1
Se si desidera maggiore precisione, troncare subito prima del successivo 4 o quello dopo.
Espandendo la parte ripetuta della frazione continua per sqrt(7) possiamo derivare una frazione continua generalizzata:
sqrt(7) = 21/8+(7/64)/(21/4+(7/64)/(21/4+(7/64)/(21/4+(7/64)/(21/4+...))))
Usando una calcolatrice, troviamo:
sqrt(7) ~~ 2.645751311