Come usi la parte I del Teorema fondamentale del calcolo per trovare la derivata di #h (x) = int (cos (t ^ 4) + t) dt # da -4 a sinx? Qualcuno può guidarmi attraverso questo? Sto avendo molti problemi a capire come fare.

Se si definisce una funzione #g# dalla formula #g(x)=int_{-4}^{x} (cos(t^{4})+t) dt#, poi il teorema fondamentale del calcolo dice che il suo derivato è #g'(x)=cos(x^{4})+x# (sbarazzarsi del segno integrale e del #dt#e sostituire il #t# nell'integrando con #x#Il ... #-4# nel limite inferiore dell'integrale è irrilevante (potrebbe essere qualsiasi numero e la risposta sarebbe la stessa), ma il #x# nel limite superiore dell'integrale è essenziale)

Ora notalo #h(x)=int_{-4}^{sin(x)}(cos(t^{4})+t) dt=g(sin(x))# (#h# è una composizione di #g# con la funzione seno).

Ora puoi applicare il Regola di derivazione dire che

#h'(x)=g'(sin(x)) * d/dx(sin(x))#

#=(cos(sin^{4}(x))+sin(x))*cos(x)#

È utile?

Forse c'è ancora confusione su cosa #g# e #h# siamo. In altre parole, hanno "formule ordinarie" che non comportano segni integrali. La risposta, in questo caso, è "no". L'integrale #int cos(t^4) dt# non può essere valutato in termini di "funzioni elementari" (funzioni a cui sei "abituato").

Il simbolo integrale definito #h(x)=int_{-4}^{sin(x)}(cos(t^{4})+t) dt# sicuramente sfida una funzione perché l'integrando è continuo. Per ogni #x#, puoi sempre approssimare il valore di #h(x)# per integrazione numerica (come la regola di Simpson).