Come uso il teorema di DeMoivre per risolvere $z^{3} - 1 = 0$ $z ^ 3-1 = 0$ ?

If $z^{3} - 1 = 0$ $z^3-1=0$ , quindi stiamo cercando le radici cubiche dell'unità, cioè i numeri tali $z^{3} = 1$ $z^3=1$ .

Se stai usando numeri complessi, allora ogni equazione polinomiale di grado $k$ $k$ cede esattamente $k$ $k$ soluzione. Quindi, ci aspettiamo di trovare tre radici cubiche.

Il teorema di De Moivre usa il fatto che possiamo scrivere qualsiasi numero complesso come $ρ e^{i θ} = ρ (cos (θ) + i sin (θ))$ $rho e^{i theta}= rho (cos(theta)+isin(theta))$ e afferma che, se
$z = ρ (cos (θ) + i sin (θ))$ $z=rho (cos(theta)+isin(theta))$ , poi
$z^{n} = ρ^{n} (cos (n θ) + i sin (n θ))$ $z^n = rho^n (cos(n theta)+isin(n theta))$

Se si guarda alla $1$ $1$ come un numero complesso, allora hai $ρ = 1$ $rho=1$ e $θ = 2 π$ $theta=2pi$ . Cerchiamo quindi tre numeri tali $ρ^{3} = 1$ $rho^3=1$ e $3 θ = 2 π$ $3theta=2pi$ .

Dal $ρ$ $rho$ è un numero reale, l'unica soluzione a $ρ^{3} = 1$ $rho^3=1$ is $ρ = 1$ $rho=1$ . D'altra parte, usando la periodicità degli angoli, abbiamo che le tre soluzioni per $θ$ $theta$ impianti completi per la produzione di prodotti da forno
$θ_{1, 2, 3} = \frac{2 k π}{3}$ $theta_{1,2,3}=frac{2kpi}{3}$ , Per $k = 0, 1, 2$ $k=0,1,2$ .

Ciò significa che le tre soluzioni sono:

$ρ = 1, θ = 0$ $rho=1, theta=0$ , che è il numero reale $1$ $1$ .
$ρ = 1, θ = \frac{2 π}{3}$ $rho=1, theta=frac{2pi}{3}$ , che è il numero complesso $- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ $-1/2 + sqrt{3}/2 i$
$ρ = 1, θ = \frac{4 π}{3}$ $rho=1, theta=frac{4pi}{3}$ , che è il numero complesso $- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ $-1/2 - sqrt{3}/2 i$

Come uso il teorema di DeMoivre per risolvere z3−1=0 z ^ 3-1 = 0 ?

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Come uso il teorema di DeMoivre per risolvere $z^{3} - 1 = 0$ $z ^ 3-1 = 0$ ?