Come uso il teorema di DeMoivre per risolvere # z ^ 3-1 = 0 #?
If #z^3-1=0#, quindi stiamo cercando le radici cubiche dell'unità, cioè i numeri tali #z^3=1#.
Se stai usando numeri complessi, allora ogni equazione polinomiale di grado #k# cede esattamente #k# soluzione. Quindi, ci aspettiamo di trovare tre radici cubiche.
Il teorema di De Moivre usa il fatto che possiamo scrivere qualsiasi numero complesso come #rho e^{i theta}= rho (cos(theta)+isin(theta))#e afferma che, se
#z=rho (cos(theta)+isin(theta))#, poi
#z^n = rho^n (cos(n theta)+isin(n theta))#
Se si guarda alla #1# come un numero complesso, allora hai #rho=1# e #theta=2pi#. Cerchiamo quindi tre numeri tali #rho^3=1# e #3theta=2pi#.
Dal #rho# è un numero reale, l'unica soluzione a #rho^3=1# is #rho=1#. D'altra parte, usando la periodicità degli angoli, abbiamo che le tre soluzioni per #theta# impianti completi per la produzione di prodotti da forno
#theta_{1,2,3}=frac{2kpi}{3}#, Per #k=0,1,2#.
Ciò significa che le tre soluzioni sono:
- #rho=1, theta=0#, che è il numero reale #1#.
- #rho=1, theta=frac{2pi}{3}#, che è il numero complesso #-1/2 + sqrt{3}/2 i#
- #rho=1, theta=frac{4pi}{3}#, che è il numero complesso #-1/2 - sqrt{3}/2 i#