Come valuti $sec 15$ $sec 15$ ?

Valore esatto:

Questa è una di quelle rare domande che puoi valutare esattamente usando le formule di somma e differenza.

Innanzitutto, però, definiamolo $sec θ$ $sectheta$ . Dalle identità reciproche $sec θ = \frac{1}{cos θ}$ $sectheta = 1/costheta$

$sec 15$ $sec15$
$= \frac{1}{cos 15}$ $=1/cos15$

Adesso, $15^{\circ}$ $15^@$ può essere scritto come $60^{\circ} - 45^{\circ}$ $60^@ - 45^@$

Dalla somma e dalla differenza identità $cos (α - θ) = cos α cos θ + sin α sin θ$ $cos(alpha - theta) = cosalphacostheta + sinalphasintheta$

Possiamo quindi dichiarare quanto segue:

$\frac{1}{cos 15} = \frac{1}{cos (60 - 45)}$ $1/cos15 = 1/cos(60 - 45)$

Espansione:

$= \frac{1}{cos 60 cos 45 + sin 60 sin 45}$ $=1/(cos60cos45 + sin60sin45)$

$= \frac{1}{\frac{1}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}}}$ $=1/(1/2 xx 1/sqrt(2) + sqrt(3)/2 xx 1/sqrt(2))$

$= \frac{1}{(\frac{1}{2 \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}})}$ $= 1/((1/(2sqrt(2)) + sqrt(3)/(2sqrt(2)))$

$= \frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}}$ $= 1/((1 + sqrt(3))/(2sqrt2))$

$= \frac{2 \sqrt{2}}{1 + \sqrt{3}}$ $= (2sqrt(2))/(1 + sqrt(3))$

Razionalizzare il denominatore:

$= \frac{2 \sqrt{2}}{1 + \sqrt{3}} \times \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ $= (2sqrt(2))/(1 + sqrt(3)) xx (1 - sqrt(3))/(1 - sqrt(3))$

$= \frac{2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{- 2}$ $=(2sqrt(2) - 2sqrt(6))/-2$

$= \frac{2 (\sqrt{2} - \sqrt{6})}{- 2}$ $=(2(sqrt(2) - sqrt(6)))/-2$

$= \sqrt{6} - \sqrt{2}$ $= sqrt6 - sqrt(2)$

Perciò, $sec 15 = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ $sec15 = sqrt(6) - sqrt(2)$

Speriamo che questo aiuti!

Come valuti sec15sec 15 ?