Cos'è la somma di Riemann del punto medio?
Presumo che tu conosca l'idea generale per una somma di Riemann.
Probabilmente è più semplice mostrare un esempio:
Per l'intervallo: #[1,3]# e per #n=4#
noi troviamo #Delta x# come sempre per le somme di Riemann:
#Delta x = (b-a)/n = (3-1)/4 = 1/2#
Ora gli endpoint dei sottointervalli sono:
#1, 3/2, 2, 5/2, 2#
I primi quattro sono endpoint sinistro e gli ultimi quattro sono endpoint giusti dei subintervalli.
La somma di Riemann a sinistra usa gli endpoint a sinistra per trovare l'altezza del rettangolo. (E la giusta somma...)
La somma dei punti medi utilizza i punti medi dei sottointervalli:
#[1, 3/2]# #[3/2,2]# #[2,5/2]# #[5/2, 3]#
Il punto medio di un intervallo è la media (media) degli endpoint:
#m_1 = 1/2(1+3/2) = 5/4#
#m_2 = 1/2(3/2 + 2) = 7/4#
#m_3 = 1/2 (2+5/2) = 9/4#
#m_4 = 1/2 (5/2+3) = 11/4#
Ora, qualunque sia la funzione #f#, otteniamo la somma:
#Delta x (f(m_1) + f(m_2) + f(m_3)+f(m_4))#
#= 1/2(f(5/4)+f(7/4)+f(9/4)+f(11/4))#