Cos'è la somma di Riemann del punto medio?

Presumo che tu conosca l'idea generale per una somma di Riemann.

Probabilmente è più semplice mostrare un esempio:

Per l'intervallo: #[1,3]# e per #n=4#

noi troviamo #Delta x# come sempre per le somme di Riemann:

#Delta x = (b-a)/n = (3-1)/4 = 1/2#

Ora gli endpoint dei sottointervalli sono:

#1, 3/2, 2, 5/2, 2#

I primi quattro sono endpoint sinistro e gli ultimi quattro sono endpoint giusti dei subintervalli.

La somma di Riemann a sinistra usa gli endpoint a sinistra per trovare l'altezza del rettangolo. (E la giusta somma...)

La somma dei punti medi utilizza i punti medi dei sottointervalli:

#[1, 3/2]# #[3/2,2]# #[2,5/2]# #[5/2, 3]#

Il punto medio di un intervallo è la media (media) degli endpoint:

#m_1 = 1/2(1+3/2) = 5/4#

#m_2 = 1/2(3/2 + 2) = 7/4#

#m_3 = 1/2 (2+5/2) = 9/4#

#m_4 = 1/2 (5/2+3) = 11/4#

Ora, qualunque sia la funzione #f#, otteniamo la somma:

#Delta x (f(m_1) + f(m_2) + f(m_3)+f(m_4))#

#= 1/2(f(5/4)+f(7/4)+f(9/4)+f(11/4))#

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